Partindo da eq.
, mostre que para um corpo que se move sob a ação de uma força central do tipo
,
sendo
e
os pontos de retorno do movimento em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma equação
e uma força central dada por
. O objetivo é mostrar que os pontos de retorno do movimento, ou seja, os valores de
onde a partícula para e muda de direção (chamados de
e
), estão dados pela fórmula fornecida. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de energia total, energia potencial efetiva e a conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema com força central, a energia total
é a soma da energia cinética radial, da energia cinética angular e da energia potencial. Matemáticamente, isso fica assim:
Aqui,
é a massa da partícula,
é a velocidade radial,
é o momento angular, e
é a energia potencial.
Passo 3
Como a conservação do momento angular nos diz que
é constante, a energia total pode ser reescrita em termos da energia potencial efetiva
:
onde
Passo 4
No nosso caso, a força central é
. Sabemos que a força está relacionada com a energia potencial pela relação
. Como a força é radial, temos:
Integrando isso para encontrar
:
Podemos definir a constante
sem perda de generalidade, então:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão da energia potencial efetiva:
Nos pontos de retorno, a velocidade radial
, então a energia total é igual à energia potencial efetiva:
Passo 6
Vamos rearranjar essa equação para resolver para
. Multiplicando ambos os lados por
:
Reorganizando para formar uma equação quadrática:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática na forma
, onde:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver para
:
Substituindo os valores de
,
e
:
Passo 8
Simplificando dentro da raiz:
Podemos reescrever a expressão completa como:
Fatorando
: