Partindo da eq. V^prime(r)=E, mostre que para um corpo que se move sob a ação de uma força central do tipo F=k r / r^2,
r1,2=k2 E pm[(k2 E)^2+L^22 m E]^1 / 2
sendo r1 e r2 os pontos de retorno do movimento em r.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. A gente tem uma equação e uma força central dada por . O objetivo é mostrar que os pontos de retorno do movimento, ou seja, os valores de onde a partícula para e muda de direção (chamados de e ), estão dados pela fórmula fornecida. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de energia total, energia potencial efetiva e a conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema com força central, a energia total E = 12 m dotr^2 + L^22 m r^2 + V(r) é a soma da energia cinética radial, da energia cinética angular e da energia potencial. Matemáticamente, isso fica assim:
Aqui, é a massa da partícula, é a velocidade radial, é o momento angular, e é a energia potencial.

Passo 3

Como a conservação do momento angular nos diz que E = 12 m dotr^2 + Veff(r) é constante, a energia total pode ser reescrita em termos da energia potencial efetiva Veff(r) = L^22 m r^2 + V(r) :
onde

Passo 4

No nosso caso, a força central é F = -dVdr = kr^2 . Sabemos que a força está relacionada com a energia potencial pela relação V(r) = -kr + C . Como a força é radial, temos:
V(r) = -kr
Integrando isso para encontrar :
Podemos definir a constante sem perda de generalidade, então:

Passo 5

Agora, substituímos Veff(r) = L^22 m r^2 - kr na expressão da energia potencial efetiva:
E = L^22 m r^2 - kr
Nos pontos de retorno, a velocidade radial , então a energia total é igual à energia potencial efetiva:

Passo 6

Vamos rearranjar essa equação para resolver para E r^2 = L^22 m - k r . Multiplicando ambos os lados por E r^2 + k r - L^22 m = 0 :
Reorganizando para formar uma equação quadrática:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática na forma a = E, b = k, c = -L^22 m , onde:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver para r = -k pm raizk^2 + 4 E cdot L^22 m2 E :
Substituindo os valores de , e :

Passo 8

Simplificando dentro da raiz:
raizk^2 + 2 E cdot L^2m
Podemos reescrever a expressão completa como:
r = -k2 E pm raizk^2 + 2 E cdot L^2m2 E
Fatorando r = k2 E pm raiz(k2 E)^2 + L^22 m E :

Resposta

r1,2 = k2 E pm [(k2 E)^2 + L^22 m E]^1 / 2

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