Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo
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h) Mostre que a trajetória ou órbita da partícula pode ser descrita pela equação
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h) Mostre que a trajetória ou órbita da partícula pode ser descrita pela equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para o centro e depende apenas da distância
até ele, representada por
. O que precisamos mostrar é que a trajetória dessa partícula pode ser descrita por uma equação diferencial específica envolvendo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Clássica, especialmente os relacionados ao movimento em força central e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em movimento sob a ação de uma força central, a quantidade angular
é conservada. Isso significa que
, onde
é a massa da partícula,
é a distância ao centro, e
é a velocidade angular. Como
é constante, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos focar na componente radial do movimento. A segunda lei de Newton na direção radial é dada por:
Substituindo
pela expressão que encontramos no Passo 2:
Simplificando:
Passo 4
Para simplificar essa equação, vamos fazer a substituição
. Assim,
. Precisamos expressar
em termos de
e
. Primeiro, usamos a regra da cadeia:
Derivando novamente em relação ao tempo:
Passo 5
Substituindo
na equação radial que obtivemos no Passo 3:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Rearranjando os termos, obtemos:
Resposta
A trajetória da partícula pode ser descrita pela equação diferencial:
com
.