Uma partícula se movimenta sob a ação de uma força central do tipo F=r F(r).
h) Mostre que a trajetória ou órbita da partícula pode ser descrita pela equação
d^2 ud theta^2=-u-mL^2 u^2 F(1u)
com u=1 / r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move sob a ação de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para o centro e depende apenas da distância até ele, representada por . O que precisamos mostrar é que a trajetória dessa partícula pode ser descrita por uma equação diferencial específica envolvendo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Clássica, especialmente os relacionados ao movimento em força central e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em movimento sob a ação de uma força central, a quantidade angular dthetadt = Lm r^2 é conservada. Isso significa que , onde é a massa da partícula, é a distância ao centro, e é a velocidade angular. Como é constante, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos focar na componente radial do movimento. A segunda lei de Newton na direção radial é dada por:
m d^2 rdt^2 - m r ( dthetadt )^2 = F(r)
Substituindo m d^2 rdt^2 - m r ( Lm r^2 )^2 = F(r) pela expressão que encontramos no Passo 2:
m d^2 rdt^2 - L^2m r^3 = F(r)
Simplificando:

Passo 4

Para simplificar essa equação, vamos fazer a substituição drdt = drdtheta cdot dthetadt = ddtheta( 1u ) cdot Lm u^2 = -1u^2 dudtheta cdot Lm u^2 = -Lm dudtheta . Assim, d^2 rdt^2 = -Lm ddt( dudtheta ) = -Lm ( d^2 udtheta^2 cdot dthetadt ) = -Lm cdot d^2 udtheta^2 cdot Lm u^2 = -L^2m^2 u^2 d^2 udtheta^2 . Precisamos expressar em termos de e . Primeiro, usamos a regra da cadeia:
Derivando novamente em relação ao tempo:

Passo 5

Substituindo m ( -L^2m^2 u^2 d^2 udtheta^2 ) - L^2m r^3 = F(r) na equação radial que obtivemos no Passo 3:
-L^2m u^2 d^2 udtheta^2 - L^2m u^3 = F( 1u )
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por d^2 udtheta^2 + u = -mL^2 u^2 F( 1u ) :
d^2 udtheta^2 = -u - mL^2 u^2 F( 1u )
Rearranjando os termos, obtemos:

Resposta

A trajetória da partícula pode ser descrita pela equação diferencial:
d^2 ud theta^2 = -u - mL^2 u^2 F(1u)
com .

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