89 Uma partícula de
está realizando um movimento harmônico simples em uma dimensão e se move de acordo com a equação
com
em segundos. (a) Para qual valor de
a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total? (b) Quanto tempo a partícula leva para se mover até a posição do item (a) a partir da posição de equilíbrio?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
que está se movendo de forma harmônica simples (MHS) numa dimensão. A posição dela em função do tempo é dada por:
A questão tem duas partes:
a) Encontrar o valor de onde a energia potencial
é metade da energia total
.
b) Calcular o tempo que a partícula leva para se mover da posição de equilíbrio até essa posição encontrada no item (a).
a) Encontrar o valor de
b) Calcular o tempo que a partícula leva para se mover da posição de equilíbrio até essa posição
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da energia potencial e da energia total em um movimento harmônico simples.
Passo 2
Vamos começar entendendo as energias envolvidas no MHS. A energia potencial
em um MHS é dada por:
E a energia total
é:
onde:
-
é a constante elástica, -
é a amplitude do movimento.
Aqui, queremos que
. Vamos substituir as expressões de
e
nessa igualdade.
Passo 3
Substituindo as expressões:
Simplificando:
Podemos cancelar o
dos dois lados da equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores. A amplitude
é
, então:
Portanto, o valor de
onde a energia potencial é metade da energia total é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber quanto tempo a partícula leva para ir da posição de equilíbrio até
.
A posição da partícula no MHS é dada por:
Onde:
-
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Da equação original, identificamos:
Então:
Passo 6
Para encontrar o tempo quando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Sabemos que
, então:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Somando
aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
a) Quando
, a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total.
b) A partícula leva
para se mover da posição de equilíbrio até essa posição.