89 Uma partícula de está realizando um movimento harmônico simples em uma dimensão e se move de acordo com a equação
com em segundos. (a) Para qual valor de a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total? (b) Quanto tempo a partícula leva para se mover até a posição do item (a) a partir da posição de equilíbrio?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa que está se movendo de forma harmônica simples (MHS) numa dimensão. A posição dela em função do tempo é dada por:
A questão tem duas partes:
a) Encontrar o valor de onde a energia potencial é metade da energia total .
b) Calcular o tempo que a partícula leva para se mover da posição de equilíbrio até essa posição encontrada no item (a).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da energia potencial e da energia total em um movimento harmônico simples.

Passo 2

Vamos começar entendendo as energias envolvidas no MHS. A energia potencial em um MHS é dada por:
E a energia total é:
onde:
  • é a constante elástica,
  • é a amplitude do movimento.
Aqui, queremos que . Vamos substituir as expressões de e nessa igualdade.

Passo 3

Substituindo as expressões:
Simplificando:
Podemos cancelar o dos dois lados da equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tomando a raiz quadrada:

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores. A amplitude é , então:
Portanto, o valor de onde a energia potencial é metade da energia total é aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber quanto tempo a partícula leva para ir da posição de equilíbrio até .
A posição da partícula no MHS é dada por:
Onde:
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Da equação original, identificamos:
Então:

Passo 6

Para encontrar o tempo quando :
Dividindo ambos os lados por :
Sabemos que , então:
Substituindo e :

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Somando aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

a) Quando , a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total.
b) A partícula leva para se mover da posição de equilíbrio até essa posição.

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