89 Uma partícula de 3,0 kg está realizando um movimento harmônico simples em uma dimensão e se move de acordo com a equação
x=(5,0 m) cos [(pi / 3 rad / s) t-pi / 4 rad],
com t em segundos. (a) Para qual valor de x a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total? (b) Quanto tempo a partícula leva para se mover até a posição do item (a) a partir da posição de equilíbrio?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa x = (5,0 , m) cos[(pi3 , rads) t - pi4 , rad] que está se movendo de forma harmônica simples (MHS) numa dimensão. A posição dela em função do tempo é dada por:
A questão tem duas partes:
a) Encontrar o valor de onde a energia potencial é metade da energia total .
b) Calcular o tempo que a partícula leva para se mover da posição de equilíbrio até essa posição encontrada no item (a).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da energia potencial e da energia total em um movimento harmônico simples.

Passo 2

Vamos começar entendendo as energias envolvidas no MHS. A energia potencial U = 12 k x^2 em um MHS é dada por:
E = 12 k A^2
E a energia total é:
onde:
  • é a constante elástica,
  • é a amplitude do movimento.
Aqui, queremos que . Vamos substituir as expressões de e nessa igualdade.

Passo 3

Substituindo as expressões:
12 k x^2 = 12 (12 k A^2)
Simplificando:
12 k x^2 = 14 k A^2
Podemos cancelar o 12 x^2 = 14 A^2 dos dois lados da equação:
x^2 = 12 A^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
x = Araiz2
Tomando a raiz quadrada:

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores. A amplitude x = 5,0 , mraiz2 approx 5,0 , m1,414 approx 3,536 , m é , então:
Portanto, o valor de onde a energia potencial é metade da energia total é aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber quanto tempo a partícula leva para ir da posição de equilíbrio até x(t) = A cos(omega t + phi) .
A posição da partícula no MHS é dada por:
x(t) = 5,0 , m cdot cos(pi3 , t - pi4)
Onde:
  • omega = pi3 , rads, phi = -pi4 , rad é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Da equação original, identificamos:
Então:

Passo 6

Para encontrar o tempo quando Araiz2 = A cos(omega t + phi) :
1raiz2 = cos(omega t + phi)
Dividindo ambos os lados por omega t + phi = pi4 :
pi3 t - pi4 = pi4
Sabemos que , então:
Substituindo e :

Passo 7

Agora, vamos resolver para pi3 t - pi4 = pi4 :
pi3 t = pi4 + pi4 = pi2
Somando t = 3pi cdot pi2 = 32 , s aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

a) Quando , a energia potencial da partícula é igual à metade da energia total.
b) A partícula leva para se mover da posição de equilíbrio até essa posição.

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