1. Uma barra nāo-condutora vertical tem comprimento L. A barra tem carga total q positiva, distribuida uniformente pela barra. Determine a componente vertical do campo elétrico produzido no ponto P, que está a uma distáncia R à direita da extremidade inferior da barra. (2,0). (Dica: integrala^b y d y(y^2+R^2)^3 / 2=[-1(y^2+R^2)^1 / 2]a^b )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma barra vertical não-condutora de comprimento que tem uma carga total distribuída de forma uniforme. Precisamos encontrar a componente vertical do campo elétrico no ponto , que está a uma distância à direita da extremidade inferior da barra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a integração para calcular campos elétricos produzidos por distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de carga. Como a barra é não-condutora e a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga lambda = qL é dada por:
Isso significa que cada pedacinho da barra tem uma carga , onde é um pequeno elemento de comprimento ao longo da barra.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o campo elétrico gerado por esse elemento de carga no ponto . O campo elétrico devido a está na direção que vai de para . Vamos decompor esse campo nas componentes horizontal ( ) e vertical ( ).

Passo 4

Como estamos interessados somente na componente vertical ( dEy = dE cdot yraizy^2 + R^2 ), vamos focar nessa parte. A componente vertical do campo elétrico devido a é:
Onde é a coordenada vertical ao longo da barra.

Passo 5

O campo total Ey = integral0^L 14pivarepsilon0 cdot dq cdot y(y^2 + R^2)^3/2 será a integral de Ey = q4pivarepsilon0 L integral0^L y , dy(y^2 + R^2)^3/2 ao longo de toda a barra, de a :
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. Usando a dica fornecida:
integral y , dy(y^2 + R^2)^3/2 = [ -1raizy^2 + R^2 ]0^L
Aplicando os limites de integração:
[ -1raizL^2 + R^2 ] - [ -1raiz0^2 + R^2 ] = 1R - 1raizL^2 + R^2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do Ey = q4pivarepsilon0 L ( 1R - 1raizL^2 + R^2 ) :

Resposta

A componente vertical do campo elétrico no ponto Ey = q4pivarepsilon0 L ( 1R - 1raizL^2 + R^2 ) é:

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