Derive a energia de um elétron no átomo de hidrogênio usando as fórmulas de Bohr.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que derivar a energia de um elétron no átomo de hidrogênio usando as fórmulas de Bohr. Isso envolve conceitos de física quântica e modelos atômicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o modelo de Bohr, que explica a estrutura do átomo com elétrons em órbitas quantizadas ao redor do núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, segundo Bohr, o elétron se move em órbitas circulares ao redor do núcleo sem emitir radiação, e essas órbitas têm energias específicas. A energia total do elétron é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial ( ).

Passo 3

A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é fornecida pela força de Coulomb, que é a força de atração entre o elétron e o próton no núcleo. Então, temos:
me v^2r = e^24 pi varepsilon0 r^2
Aqui, é a massa do elétron, é a velocidade, é o raio da órbita, é a carga do elétron e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos resolver essa equação para v^2 = e^24 pi varepsilon0 me r :

Passo 5

Agora, a energia cinética ( K = 12 me v^2 = 12 me ( e^24 pi varepsilon0 me r ) = e^28 pi varepsilon0 r ) do elétron é dada por:

Passo 6

A energia potencial ( U = -e^24 pi varepsilon0 r ) entre o elétron e o núcleo é:
O sinal negativo indica que é uma força atrativa.

Passo 7

A energia total ( E = K + U = e^28 pi varepsilon0 r - e^24 pi varepsilon0 r = -e^28 pi varepsilon0 r ) do elétron é a soma da energia cinética e da energia potencial:

Passo 8

No modelo de Bohr, os raios das órbitas são quantizados e são dados por:
rn = 4 pi varepsilon0 hbar^2 n^2me e^2
onde é o número quântico principal e é a constante de Planck reduzida.

Passo 9

Substituindo En = -e^28 pi varepsilon0 ( 4 pi varepsilon0 hbar^2 n^2me e^2 ) = -me e^432 pi^2 varepsilon0^2 hbar^2 n^2 na expressão da energia total:

Passo 10

Simplificando a expressão e utilizando a constante de Rydberg En = -Ry h cn^2 , onde é a constante de Planck e a velocidade da luz, a energia pode ser escrita como:

Resposta

A energia do elétron no átomo de hidrogênio segundo o modelo de Bohr é:
En = -me e^432 pi^2 varepsilon0^2 hbar^2 n^2

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