Derive a energia de um elétron no átomo de hidrogênio usando as fórmulas de Bohr.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que derivar a energia de um elétron no átomo de hidrogênio usando as fórmulas de Bohr. Isso envolve conceitos de física quântica e modelos atômicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o modelo de Bohr, que explica a estrutura do átomo com elétrons em órbitas quantizadas ao redor do núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, segundo Bohr, o elétron se move em órbitas circulares ao redor do núcleo sem emitir radiação, e essas órbitas têm energias específicas. A energia total do elétron é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
).
Passo 3
A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é fornecida pela força de Coulomb, que é a força de atração entre o elétron e o próton no núcleo. Então, temos:
Aqui,
é a massa do elétron,
é a velocidade,
é o raio da órbita,
é a carga do elétron e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
:
Passo 5
Agora, a energia cinética (
) do elétron é dada por:
Passo 6
A energia potencial (
) entre o elétron e o núcleo é:
O sinal negativo indica que é uma força atrativa.
Passo 7
A energia total (
) do elétron é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Passo 8
No modelo de Bohr, os raios das órbitas são quantizados e são dados por:
onde
é o número quântico principal e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 9
Substituindo
na expressão da energia total:
Passo 10
Simplificando a expressão e utilizando a constante de Rydberg
, onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz, a energia pode ser escrita como:
Resposta
A energia do elétron no átomo de hidrogênio segundo o modelo de Bohr é:
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