8a) x^2 + y^2 + 2 = x^3 + y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação: . Isso está dentro da matéria de Álgebra, mais especificamente tratando de equações polinomiais com duas variáveis. Para resolver essa equação, vamos precisar manipular os termos para isolar uma das variáveis e encontrar possíveis valores que satisfaçam a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar organizar a equação para entender melhor o que está acontecendo. Vamos trazer todos os termos para um lado da igualdade:

Passo 3

Agora, observe que pode ser fatorado como e como . Vamos fazer isso:

Passo 4

Vamos tentar encontrar soluções simples assumindo que . Isso pode simplificar a equação. Então, substituindo por :
Simplificando:

Passo 5

Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Expandindo:

Passo 6

Agora, temos uma equação cúbica . Resolver essa equação analiticamente pode ser complicado, então vamos tentar encontrar uma solução numérica aproximada.
Testando :
Testando :
Como e , existe uma raiz entre 1 e 1.5.

Passo 7

Utilizando o método da bisseção ou outra técnica de aproximação, podemos estimar que . Assim, também, já que assumimos que .

Resposta

A solução aproximada para a equação é e .

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Calcule as integrais iteradas.
integral0^2 integraly^2^2 y(4 x-y) d x d y
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Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
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Expresse a integral dupla sobre a região R indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
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