Expresse a integral dupla sobre a região
indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
; na região retangular de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região retangular
, onde a função a ser integrada é
. Primeiro, vamos entender que estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Vem comigo que eu explico cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região
. Os vértices são
,
,
e
. Isso forma um retângulo no plano cartesiano. Para expressar a integral dupla como uma integral iterada, precisamos definir os limites de integração para
e
.
Passo 3
Observando os vértices, vemos que
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. A gente tem que integrar
em relação a
:
Integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
(já que
é constante em relação a
). Então, a primitiva é:
Passo 5
Vamos agora avaliar essa primitiva nos limites de
de
a
:
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
de
a
:
Integral de
em relação a
é
e a integral de
é
. Então, a primitiva é:
Passo 7
Vamos avaliar essa primitiva nos limites de
de
a
:
Calculando:
Resposta
O valor da integral dupla é 37,5.
Exercícios relacionados
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
8a)
Calcule as integrais iteradas.
11a)