Expresse a integral dupla sobre a região R indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
integral duplaR(y+2 x) d A; na região retangular de vértices (-1,-1),(2,-1),(2,4),(-1,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região retangular , onde a função a ser integrada é . Primeiro, vamos entender que estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Vem comigo que eu explico cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região . Os vértices são , , e . Isso forma um retângulo no plano cartesiano. Para expressar a integral dupla como uma integral iterada, precisamos definir os limites de integração para e .

Passo 3

Observando os vértices, vemos que integralx=-1^2 integraly=-1^4 (y + 2x) , dy , dx varia de a e, para cada , varia de a . Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada assim:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integraly=-1^4 (y + 2x) , dy . A gente tem que integrar 12y^2 + 2x y em relação a :
Integral de em relação a é , e a integral de em relação a é (já que é constante em relação a ). Então, a primitiva é:

Passo 5

Vamos agora avaliar essa primitiva nos limites de ( 12(4)^2 + 2x(4) ) - ( 12(-1)^2 + 2x(-1) ) de ( 12(16) + 8x ) - ( 12(1) - 2x ) = ( 8 + 8x ) - ( 0.5 - 2x ) = 8 + 8x - 0.5 + 2x = 7.5 + 10x a :
Calculando:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integralx=-1^2 (7.5 + 10x) , dx de 7.5x + 5x^2 a :
Integral de em relação a é e a integral de é . Então, a primitiva é:

Passo 7

Vamos avaliar essa primitiva nos limites de ( 7.5(2) + 5(2)^2 ) - ( 7.5(-1) + 5(-1)^2 ) de ( 15 + 20 ) - ( -7.5 + 5 ) = 35 - (-2.5) = 35 + 2.5 = 37.5 a :
Calculando:

Resposta

O valor da integral dupla é 37,5.

Exercícios relacionados

Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
y=raizx, x=4, y=0
8a) x^2 + y^2 + 2 = x^3 + y^3
Calcule as integrais iteradas.
integral0^3 integral-2^-1(4 x y^3+y) d x d y
11a) d^3/dx^3 (x^9)