Calcule as integrais iteradas.
integral0^2 integraly^2^2 y(4 x-y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: . Isso faz parte de cálculo integral, especificamente de integrais iteradas. Para resolver isso, vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integral (4x - y) , dx = 2x^2 - yx + C . Essa é uma integral definida em [2x^2 - yx]y^2^2y = (2(2y)^2 - y(2y)) - (2(y^2)^2 - y(y^2)) , onde = (8y^2 - 2y^2) - (2y^4 - y^3) = 6y^2 - 2y^4 + y^3 é tratado como uma constante.
Para resolver, vamos integrar cada termo separadamente:
  • A integral de em relação a é .
  • A integral de em relação a é .
Então, temos:
Agora, aplicamos os limites de a :
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos a expressão resultante da primeira integração, vamos integrar isso em relação a integral0^2 (6y^2 - 2y^4 + y^3) , dy no intervalo de 0 a 2:
2y^3 - 25y^5 + 14y^4 gr|0^2
Vamos integrar cada termo:
  • A integral de 2(2)^3 - 25(2)^5 + 14(2)^4 = 16 - 645 + 4 = 16 + 4 - 12.8 = 7.2 é .
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então, temos:
Substituindo :
Substituindo todas as parcelas são zero.

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência x^2+y^2=4, x >= 0. Se a densidade linear por uma constante k, determine a massa e o centro de massa do arame.
m=2 k pi ; barx=4pi ; bary=0
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Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
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