Expresse a integral dupla sobre a região
indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
; na região triangular de vértices
.
Passo 1
Vamos resolver uma integral dupla sobre uma região triangular
com vértices em
,
e
. A integral que queremos calcular é
. Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla como uma integral iterada, ou seja, integrando primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região triangular
. Os vértices são
,
e
. Isso forma um triângulo com a base no eixo
e o vértice na origem
.
Passo 3
Para configurar a integral dupla como uma iterada, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Observando a região, percebemos que
varia de 0 a 1. Para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de uma linha à esquerda até uma linha à direita.
Passo 4
Vamos encontrar as equações das linhas que formam os lados do triângulo. A linha que vai de
a
tem inclinação
, então a equação é
. A linha que vai de
a
tem inclinação
, então a equação é
.
Passo 5
Resolvendo essas equações para
, temos:
- Para
: - Para
:
Passo 6
Agora, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Para cada
entre 0 e 1,
varia de
a
. Assim, a integral iterada fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos integrá-lo:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O valor da integral dupla
sobre a região triangular
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
representa a densidade linear num ponto
de um arame fino com o formato de uma curva
.
valor da massa
do arame é dado por
Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência
. Se a densidade linear por uma constante
, determine a massa e o centro de massa do arame.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Calcule as integrais iteradas.
8a)