92 candidatos deverão participar de dinâmicas em grupo de 4 ou 5 componentes. Deseja-se que a menor quantidade possível de grupos seja formada. Se cada grupo deve receber um caso diferente para analisar, o número de casos necessários será:
a) 17
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
a) 17
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. A gente tem 92 candidatos que vão participar de dinâmicas em grupo, e cada grupo pode ter 4 ou 5 pessoas. A missão é formar o menor número possível de grupos. Além disso, cada grupo vai receber um caso diferente para analisar, então precisamos saber quantos casos serão necessários, que na verdade é igual ao número de grupos que formarmos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de divisão e arredondamento para otimizar a formação dos grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar formar o máximo de grupos com 5 pessoas, já que grupos maiores reduzem o número total de grupos. Se dividirmos 92 por 5, temos:
Como não dá para ter uma fração de grupo, vamos arredondar para cima, porque não podemos deixar candidatos de fora. Isso nos dá 19 grupos.
Passo 3
Agora, vamos verificar quantos candidatos seriam alocados com 19 grupos de 5 pessoas:
Mas espera aí, temos só 92 candidatos! Isso significa que 3 candidatos a menos do que o total estão incluídos. Isso não funciona, pois não podemos ter grupos com menos de 4 pessoas.
Passo 4
Vamos então ajustar: talvez não todos os grupos tenham 5 pessoas. Vamos usar uma combinação de grupos com 5 e 4 pessoas para totalizar exatamente 92 candidatos com o menor número de grupos possível.
Vamos chamar de $ x $ o número de grupos com 5 pessoas e $ y $ o número de grupos com 4 pessoas. Temos as seguintes equações:
Passo 5
Substituindo $ y = número total de grupos - x $ na segunda equação:
Simplificando:
Passo 6
Queremos minimizar o número total de grupos. Vamos tentar valores de $ x $ e ver qual resulta no menor número total de grupos:
Se $ x = 2 $:
Não dá, tem que ser inteiro.
Se $ x = 4 $:
Ainda alto, vamos tentar mais.
Passo 7
Vamos aumentar $ x $:
Se $ x = 8 $:
Continuando:
Se $ x = 12 $:
Passo 8
Vamos verificar se 20 grupos funcionam:
Se formarmos 20 grupos, sendo 12 com 5 pessoas e 8 com 4 pessoas:
Perfeito! Assim, conseguimos distribuir todos os candidatos em 20 grupos.
Resposta
A quantidade de casos necessários é 20.