95 Um pêndulo tem o comprimento
e um peso de massa
. Na posição inicial faz um ângulo
com a vertical. O fio do pêndulo atinge um pino que está cravado à distância
, na vertical do seu centro de oscilação, como mostra a Fig. 7-36. O comprimento do pêndulo fica então diminuído. Determinar o ângulo
entre o fio e a vertical quando o afastamento do peso oscilante é máximo para a direita.
Figura 7-36 Prahlema 95
Figura 7-36 Prahlema 95
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um pêndulo com comprimento
e uma massa
. Inicialmente, ele faz um ângulo
com a vertical. Quando ele oscila, o fio bate em um pino que está a uma distância
do ponto de suspensão. Isso faz com que o comprimento do pêndulo diminua. A gente precisa descobrir qual será o novo ângulo
quando a massa atingir seu afastamento máximo para a direita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e geometria do movimento do pêndulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando o fio bate no pino. Antes de bater, o comprimento do pêndulo é
, e depois que bate, o novo comprimento será
. Isso porque o pino está a uma distância
da suspensão, então o fio a partir do pino é
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na energia do sistema. A energia mecânica do pêndulo é conservada, ou seja, a energia potencial gravitacional no ponto mais alto é igual à energia cinética no ponto mais baixo. Podemos usar isso para relacionar os ângulos antes e depois de bater no pino.
Passo 4
Vamos escrever a energia potencial no ponto inicial, antes do pêndulo bater no pino. A energia potencial
é dada por:
Aqui,
é a altura em relação à posição mais baixa.
Passo 5
Depois que o fio bate no pino, o comprimento do pêndulo muda para
. No novo ponto mais alto, com ângulo
, a energia potencial será:
Passo 6
Como a energia é conservada, podemos igualar
e
:
Passo 7
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, vamos isolar
:
Passo 9
Então, para encontrar
, rearranjamos a equação:
Passo 10
Finalmente, tiramos o arco cosseno para obter
:
Resposta
O ângulo
é dado por: