95 Um pêndulo tem o comprimento L e um peso de massa m. Na posição inicial faz um ângulo theta1 com a vertical. O fio do pêndulo atinge um pino que está cravado à distância x, na vertical do seu centro de oscilação, como mostra a Fig. 7-36. O comprimento do pêndulo fica então diminuído. Determinar o ângulo theta2 entre o fio e a vertical quando o afastamento do peso oscilante é máximo para a direita.
Figura 7-36 Prahlema 95

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um pêndulo com comprimento L e uma massa m. Inicialmente, ele faz um ângulo theta1 com a vertical. Quando ele oscila, o fio bate em um pino que está a uma distância x do ponto de suspensão. Isso faz com que o comprimento do pêndulo diminua. A gente precisa descobrir qual será o novo ângulo theta2 quando a massa atingir seu afastamento máximo para a direita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e geometria do movimento do pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o fio bate no pino. Antes de bater, o comprimento do pêndulo é L, e depois que bate, o novo comprimento será L' = L - x. Isso porque o pino está a uma distância x da suspensão, então o fio a partir do pino é L - x.

Passo 3

Agora, vamos pensar na energia do sistema. A energia mecânica do pêndulo é conservada, ou seja, a energia potencial gravitacional no ponto mais alto é igual à energia cinética no ponto mais baixo. Podemos usar isso para relacionar os ângulos antes e depois de bater no pino.

Passo 4

Vamos escrever a energia potencial no ponto inicial, antes do pêndulo bater no pino. A energia potencial U é dada por:
U1 = mgh = mgL(1 - costheta1)
Aqui, h = L(1 - costheta1) é a altura em relação à posição mais baixa.

Passo 5

Depois que o fio bate no pino, o comprimento do pêndulo muda para L' = L - x. No novo ponto mais alto, com ângulo theta2, a energia potencial será:
U2 = mgL'(1 - costheta2) = mg(L - x)(1 - costheta2)

Passo 6

Como a energia é conservada, podemos igualar U1 e U2:
mgL(1 - costheta1) = mg(L - x)(1 - costheta2)

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por mg:
L(1 - costheta1) = (L - x)(1 - costheta2)

Passo 8

Agora, vamos isolar 1 - costheta2:
1 - costheta2 = LL - x (1 - costheta1)

Passo 9

Então, para encontrar theta2, rearranjamos a equação:
costheta2 = 1 - LL - x (1 - costheta1)

Passo 10

Finalmente, tiramos o arco cosseno para obter theta2:
theta2 = cos^-1(1 - LL - x (1 - costheta1))

Resposta

O ângulo theta2 é dado por:
theta2 = cos^-1(1 - LL - x (1 - costheta1))

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