95 Um pêndulo tem o comprimento e um peso de massa . Na posição inicial faz um ângulo com a vertical. O fio do pêndulo atinge um pino que está cravado à distância , na vertical do seu centro de oscilação, como mostra a Fig. 7-36. O comprimento do pêndulo fica então diminuído. Determinar o ângulo entre o fio e a vertical quando o afastamento do peso oscilante é máximo para a direita.
Figura 7-36 Prahlema 95

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um pêndulo com comprimento e uma massa . Inicialmente, ele faz um ângulo com a vertical. Quando ele oscila, o fio bate em um pino que está a uma distância do ponto de suspensão. Isso faz com que o comprimento do pêndulo diminua. A gente precisa descobrir qual será o novo ângulo quando a massa atingir seu afastamento máximo para a direita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e geometria do movimento do pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o fio bate no pino. Antes de bater, o comprimento do pêndulo é , e depois que bate, o novo comprimento será . Isso porque o pino está a uma distância da suspensão, então o fio a partir do pino é .

Passo 3

Agora, vamos pensar na energia do sistema. A energia mecânica do pêndulo é conservada, ou seja, a energia potencial gravitacional no ponto mais alto é igual à energia cinética no ponto mais baixo. Podemos usar isso para relacionar os ângulos antes e depois de bater no pino.

Passo 4

Vamos escrever a energia potencial no ponto inicial, antes do pêndulo bater no pino. A energia potencial é dada por:
Aqui, é a altura em relação à posição mais baixa.

Passo 5

Depois que o fio bate no pino, o comprimento do pêndulo muda para . No novo ponto mais alto, com ângulo , a energia potencial será:

Passo 6

Como a energia é conservada, podemos igualar e :

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, vamos isolar :

Passo 9

Então, para encontrar , rearranjamos a equação:

Passo 10

Finalmente, tiramos o arco cosseno para obter :

Resposta

O ângulo é dado por:

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