In Fig. 8-40, a block of mass m=12 kg is released from rest on a frictionless incline of angle theta=30^circ. Below the block is a spring that can be compressed 2.0 cm by a force of 270 N. The block momentarily stops when it compresses the spring by 5.5 cm. (a) How far does the block move down the incline from its rest position to this stopping point? (b) What is the speed of the block just as it touches the spring?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bloco de massa que é soltado do repouso em um plano inclinado sem atrito com um ângulo de . Abaixo do bloco, há uma mola que pode ser comprimida 2,0 cm com uma força de 270 N. O bloco para momentaneamente quando comprime a mola em 5,5 cm. Precisamos resolver duas partes:
a) Determinar a distância que o bloco desce pelo plano inclinado desde a posição inicial até o ponto onde para.
b) Encontrar a velocidade do bloco no instante em que toca a mola.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e dinâmica em planos inclinados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a constante da mola. Sabemos que uma força de 270 N comprime a mola 2,0 cm. A constante da mola k = FDe é dada por:
Onde:
  • é a força aplicada.
  • é a compressão.

Passo 3

Calculando k = 270, N0,02, m = 13,500, N/m :

Passo 4

Agora, vamos analisar a parte (a). Quando o bloco desce e comprime a mola, a energia potencial gravitacional perdida pelo bloco se transforma em energia potencial elástica da mola.
A energia potencial gravitacional é:
Ug = m g h
A energia potencial elástica da mola é:
Ue = 12 k x^2
Onde (5,5 cm) é a compressão da mola.

Passo 5

Igualando as energias:
m g h = 12 k x^2
Aqui, h = d sin theta é a altura que o bloco desce verticalmente. Mas queremos a distância m g d sin theta = 12 k x^2 pelo plano inclinado. Sabemos que:
Substituindo:

Passo 6

Isolando d = 12 k x^2m g sin theta :
k = 13,500, N/m, x = 0,055, m, m = 12, kg, g = 9,8, m/s^2, theta = 30^circ
Agora, substituímos os valores conhecidos:

Passo 7

Calculando:
d = 0,5 times 13,500, N/m times (0,055, m)^212, kg times 9,8, m/s^2 times sin 30^circ
Primeiro, calculamos o numerador:
0,5 times 13,500 times 0,003025 = 0,5 times 13,500 times 0,003025 approx 20,41875, J
Agora, o denominador:
12 times 9,8 times 0,5 = 12 times 9,8 times 0,5 = 58,8, N
Então:
d = 20,41875, J58,8, N approx 0,3475, m

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a velocidade do bloco no momento em que toca a mola.
Aqui, o bloco está descendo o plano inclinado sem atrito, então a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética.
A energia potencial gravitacional perdida é:
Ug = m g h = m g d sin theta
A energia cinética é:
K = 12 m v^2
Igualando as duas:
m g d sin theta = 12 m v^2

Passo 9

Simplificando, podemos cancelar g d sin theta = 12 v^2 dos dois lados:
v = raiz2 g d sin theta
Isolando :

Passo 10

Substituindo os valores:
g = 9,8, m/s^2, d = 0,3475, m, theta = 30^circ
Calculando v = raiz2 times 9,8 times 0,3475 times 0,5 :

Passo 11

Calculando dentro da raiz:
2 times 9,8 times 0,3475 times 0,5 = 2 times 9,8 times 0,17375 approx 3,4
Então:
v = raiz3,4 approx 1,84, m/s

Resposta

b) A velocidade do bloco ao tocar a mola é aproximadamente .

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