[A, 18] Use indução para provar a desigualdade

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que a soma dos números de 1 até é menor que . Isso envolve entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para o primeiro número natural, ou seja, para . Isso é chamado de caso base na indução.
Calculando a soma para :
E o lado direito da desigualdade:
Então,
Como isso é verdadeiro, o caso base está confirmado.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número natural . Isso é chamado de hipótese de indução. Então, assumimos que:
Nossa meta é mostrar que, se isso é verdadeiro para , então também é verdadeiro para .

Passo 4

Vamos considerar a soma até :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, adicionando aos dois lados:
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Calculando o numerador:
Então, temos:
Portanto:
Isso mostra que se a desigualdade vale para , ela também vale para .

Resposta

Assim, por indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo número natural .

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(k)
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