[A, 18] Use indução para provar a desigualdade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que a soma dos números de 1 até
é menor que
. Isso envolve entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para o primeiro número natural, ou seja, para
. Isso é chamado de caso base na indução.
Calculando a soma para
:
E o lado direito da desigualdade:
Então,
Como isso é verdadeiro, o caso base está confirmado.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número natural
. Isso é chamado de hipótese de indução. Então, assumimos que:
Nossa meta é mostrar que, se isso é verdadeiro para
, então também é verdadeiro para
.
Passo 4
Vamos considerar a soma até
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, adicionando
aos dois lados:
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Calculando o numerador:
Então, temos:
Portanto:
Isso mostra que se a desigualdade vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, a desigualdade
é verdadeira para todo número natural
.