[A, 18] Use indução para provar a desigualdade
1+2+3+cdots+n<(2 n+1)^28, n in N

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que a soma dos números de 1 até é menor que . Isso envolve entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para o primeiro número natural, ou seja, para 1 = 1 . Isso é chamado de caso base na indução.
Calculando a soma para (2 times 1 + 1)^28 = (2 + 1)^28 = 98 = 1,125 :
1 < 1,125
E o lado direito da desigualdade:
Então,
Como isso é verdadeiro, o caso base está confirmado.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número natural 1 + 2 + 3 + cdots + k < (2k + 1)^28 . Isso é chamado de hipótese de indução. Então, assumimos que:
Nossa meta é mostrar que, se isso é verdadeiro para , então também é verdadeiro para .

Passo 4

Vamos considerar a soma até 1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) :
1 + 2 + 3 + cdots + k < (2k + 1)^28
Pela hipótese de indução, sabemos que:
1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) < (2k + 1)^28 + (k + 1)
Então, adicionando (2k + 1)^28 + (k + 1) = (2k + 1)^2 + 8(k + 1)8 aos dois lados:
(2k + 1)^2 + 8(k + 1) = 4k^2 + 4k + 1 + 8k + 8 = 4k^2 + 12k + 9 = (2k + 3)^2
Agora, vamos simplificar o lado direito:
(2k + 3)^28 = (2(k + 1) + 1)^28
Calculando o numerador:
1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) < (2(k + 1) + 1)^28
Então, temos:
Portanto:
Isso mostra que se a desigualdade vale para , ela também vale para .

Resposta

Assim, por indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo número natural .

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