Determine a equação da bissetriz dos ângulos entre as seguintes retas: r: 3x+4y-12 e s: 8x+6y-5=0. Resp.: 14x+14y-29=0 e 2x-2y+19=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação das bissetrizes dos ângulos formados entre as retas e . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre bissetrizes de ângulos entre duas retas. Para isso, precisamos lembrar da fórmula que nos ajuda a encontrar a equação da bissetriz entre duas retas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes das retas e . A reta pode ser escrita na forma geral , onde , , e . Já a reta é , com , , e .

Passo 3

A fórmula para encontrar a bissetriz dos ângulos entre duas retas é:
A1 x + B1 y + C1raizA1^2 + B1^2 = pm A2 x + B2 y + C2raizA2^2 + B2^2
Essa equação nos dá duas possíveis bissetrizes: uma para o ângulo agudo e outra para o obtuso. O símbolo indica que teremos duas soluções distintas.

Passo 4

Vamos substituir os valores dos coeficientes na fórmula:
3x + 4y - 12raiz3^2 + 4^2 = pm 8x + 6y - 5raiz8^2 + 6^2
Calculando as raízes dos denominadores:
raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
raiz8^2 + 6^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10
Então, a equação fica:
3x + 4y - 125 = pm 8x + 6y - 510

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 10 para eliminar as frações:
2(3x + 4y - 12) = pm (8x + 6y - 5)
Expandindo:
6x + 8y - 24 = pm (8x + 6y - 5)
Agora, vamos considerar os dois casos separados pelo 6x + 8y - 24 = 8x + 6y - 5 :
Caso positivo:
-2x + 2y -19 = 0 Rightarrow 2x - 2y +19 = 0
6x + 8y - 24 = -8x -6y +5
Caso negativo:
14x +14y -29 = 0

Resposta

As equações das bissetrizes dos ângulos entre as retas dadas são:
14x + 14y - 29 = 0 e 2x - 2y + 19 = 0

Exercícios relacionados