Beleza, vamos lá! O exercício que vamos resolver é sobre uma matriz específica e precisamos encontrar várias propriedades dela, como seus autovalores, autovetores, determinante, traço, entre outras coisas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar entender o que são esses conceitos e como aplicá-los em uma matriz diagonal, que é o caso da nossa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz. Em uma matriz diagonal, os autovalores são simplesmente os números na diagonal principal. No nosso caso, a matriz é:
Então, os autovalores são 2, 2, 3 e 4.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os respectivos autoespaços. O autoespaço associado a cada autovalor é o conjunto de vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam no autovalor vezes o próprio vetor. Para uma matriz diagonal, cada autovalor está associado a um eixo coordenado específico.
Para o autovalor 2, os vetores são aqueles que têm componentes apenas nas primeiras duas posições, como e .
Para o autovalor 3, o vetor é .
Para o autovalor 4, o vetor é .
Passo 4
Vamos exibir um autovetor para cada autovalor. Já identificamos os vetores que pertencem a cada autoespaço:
Para o autovalor 2, um autovetor é .
Para o autovalor 3, um autovetor é .
Para o autovalor 4, um autovetor é .
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovalores das inversas da matriz. Sabendo que os autovalores da matriz inversa são os inversos dos autovalores da matriz original, vamos calcular:
O inverso de 2 é .
O inverso de 3 é .
O inverso de 4 é .
Portanto, os autovalores da matriz inversa são , , e .
Passo 6
Vamos agora calcular os autovalores das quartas potências da matriz. Quando elevamos uma matriz a uma potência, os autovalores também são elevados a essa potência. Então, vamos elevar cada autovalor a 4:
Assim, os autovalores das quartas potências da matriz são 16, 16, 81 e 256.
Passo 7
O determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos seus autovalores. Vamos calcular:
Então, o determinante da matriz é 48.
Passo 8
Por fim, o traço de uma matriz é a soma dos seus autovalores. Vamos somar:
ç
Portanto, o traço da matriz é 11.
Resposta
Resumindo, para a matriz dada:
I. Autovalores: 2, 2, 3, 4
II. Autovetores: , , ,
III. Autovalores da inversa: , , ,
IV. Autovalores das quartas potências: 16, 16, 81, 256
V. Determinante: 48
VI. Traço: 11