Os pontos e pertencem à reta de equação , têm abscissas e , respectivamente. A distância entre e é e a ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa. Determine o valor de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma reta com equação , e dois pontos e que pertencem a essa reta. As abscissas (valores de ) desses pontos são e , respectivamente. Sabemos que a distância entre e é . Além disso, a ordenada (valor de ) do ponto dessa reta com abscissa 5 é negativa. Nosso objetivo é encontrar o valor de .
Passo 2
Vamos começar determinando as coordenadas dos pontos e usando a equação da reta .
Ponto : Como a abscissa é , substituímos na equação da reta:
Então, as coordenadas de são .
Ponto : A abscissa é , então:
As coordenadas de são .
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano para encontrar a distância entre e . A fórmula é:
Substituindo as coordenadas de e :
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, isolamos :
Passo 5
Encontramos que . Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, pode ser 3 ou -3. Mas precisamos verificar qual valor satisfaz a condição adicional do problema.
Passo 6
A condição adicional é que a ordenada do ponto com abscissa 5 seja negativa. Vamos calcular essa ordenada usando :
Queremos que .
Se :
Não atende à condição.
Se :
Atende à condição.
Resposta
O valor de que satisfaz todas as condições do exercício é .