Os pontos P e Q pertencem à reta de equação y=mx, têm abscissas a e a+1, respectivamente. A distância entre P e Q é raiz10 e a ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa. Determine o valor de m. R : m=-3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma reta com equação , e dois pontos e que pertencem a essa reta. As abscissas (valores de ) desses pontos são e , respectivamente. Sabemos que a distância entre e é . Além disso, a ordenada (valor de ) do ponto dessa reta com abscissa 5 é negativa. Nosso objetivo é encontrar o valor de .

Passo 2

Vamos começar determinando as coordenadas dos pontos yP = m cdot a e yQ = m cdot (a + 1) usando a equação da reta .
  • Ponto : Como a abscissa é , substituímos na equação da reta:
    Então, as coordenadas de são .
  • Ponto : A abscissa é , então:
    As coordenadas de são .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano para encontrar a distância entre Distância = raiz(xQ - xP)^2 + (yQ - yP)^2 e raiz10 = raiz( (a+1) - a )^2 + ( m(a+1) - ma )^2 . A fórmula é:
raiz10 = raiz1^2 + (m)^2 â
Substituindo as coordenadas de raiz10 = raiz1 + m^2 e :
Simplificando dentro da raiz:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(raiz10)^2 = (raiz1 + m^2)^2
10 = 1 + m^2
Agora, isolamos m^2 = 10 - 1 :
m^2 = 9

Passo 5

Encontramos que m = pm 3 . Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, pode ser 3 ou -3. Mas precisamos verificar qual valor satisfaz a condição adicional do problema.

Passo 6

A condição adicional é que a ordenada do ponto com abscissa 5 seja negativa. Vamos calcular essa ordenada usando y = m cdot 5 :
y = 3 cdot 5 = 15 > 0
Queremos que y = -3 cdot 5 = -15 < 0 .
  • Se :
    Não atende à condição.
  • Se :
    Atende à condição.

Resposta

O valor de que satisfaz todas as condições do exercício é .

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