Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação geral de uma cônica:
O objetivo aqui é encontrar a equação canônica dessa cônica, ou seja, a forma mais simples dela, identificando qual tipo de cônica é (círculo, elipse, parábola ou hipérbole). Para isso, vamos precisar usar conceitos de rotações de eixos e translações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa equação é de uma cônica que precisa ser rotacionada. Notamos que tem um termo , o que indica que os eixos atuais não estão alinhados com os eixos da cônica. Então, precisamos eliminar esse termo fazendo uma rotação dos eixos.
A ideia é encontrar um ângulo tal que, ao rotacionar as coordenadas, o termo desapareça. A fórmula para esse ângulo é:
Aqui, , e (os coeficientes dos termos , e respectivamente).

Passo 3

Vamos calcular o ângulo :
Como a divisão por zero não é definida, isso significa que , então:
Isso nos diz que precisamos rotacionar os eixos em para eliminar o termo .

Passo 4

Agora, vamos expressar as coordenadas originais em termos das novas coordenadas após a rotação:
Com , temos . Substituindo:

Passo 5

Vamos substituir e na equação original pela expressão acima:
$$5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ - \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right)^2 + 5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ + \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right)^2 + 6\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ - \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ + \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right) - 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ - \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right) + 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ + \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right) -1 = 0
$$
Isso vai simplificar nossa equação sem o termo , facilitando identificar a cônica.

Passo 6

Após desenvolver e simplificar os termos (fazendo as operações algébricas necessárias), a equação resultante será:
Agora, percebemos que ainda temos termos lineares em e , o que indica que precisamos fazer uma translação dos eixos para centralizar a cônica.

Passo 7

Vamos completar o quadrado para os termos e :
Primeiro, organizamos a equação:
Dividindo por 10 para facilitar:
Agora, completamos os quadrados:
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:

Passo 8

Agora, ajustamos a equação para isolar os quadrados:
Portanto, a equação canônica fica:

Resposta

A equação canônica da cônica é:
Trata-se de um círculo com centro em e raio .

Exercícios relacionados

Utilize a transformada de Fourier para encontrar uma solução para a seguinte equação diferencial:
sujeita a .
[A,65] Sejam e conjuntos numéricos não vazios. Prove que e .
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Verifique que , é homomorfismo. Calcule e . Conclua que não é monomorfismo e nem epimorfismo.