Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. 5 x^2+5 y^2+6 x y-4 x+4 y-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação geral de uma cônica:
5x^2 + 5y^2 + 6xy - 4x + 4y - 1 = 0
O objetivo aqui é encontrar a equação canônica dessa cônica, ou seja, a forma mais simples dela, identificando qual tipo de cônica é (círculo, elipse, parábola ou hipérbole). Para isso, vamos precisar usar conceitos de rotações de eixos e translações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa equação é de uma cônica que precisa ser rotacionada. Notamos que tem um termo xy, o que indica que os eixos atuais não estão alinhados com os eixos da cônica. Então, precisamos eliminar esse termo fazendo uma rotação dos eixos.
A ideia é encontrar um ângulo theta tal que, ao rotacionar as coordenadas, o termo x'y' desapareça. A fórmula para esse ângulo é:
tan(2theta) = CA - B
Aqui, A = 5, B = 5 e C = 6 (os coeficientes dos termos x^2, y^2 e xy respectivamente).

Passo 3

Vamos calcular o ângulo theta:
tan(2theta) = 65 - 5 = 60
Como a divisão por zero não é definida, isso significa que 2theta = 90^circ, então:
theta = 45^circ
Isso nos diz que precisamos rotacionar os eixos em 45^circ para eliminar o termo xy.

Passo 4

Agora, vamos expressar as coordenadas originais (x, y) em termos das novas coordenadas (x', y') após a rotação:
x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta
Com theta = 45^circ, temos cos(45^circ) = sin(45^circ) = raiz22. Substituindo:
x = raiz22x' - raiz22y' y = raiz22x' + raiz22y'

Passo 5

Vamos substituir x e y na equação original pela expressão acima:
$$5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ - \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right)^2 + 5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ + \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right)^2 + 6\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ - \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ + \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right) - 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ - \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right) + 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ + \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right) -1 = 0
$$
Isso vai simplificar nossa equação sem o termo 5(raiz22x' - raiz22y')^2 + 5(raiz22x' + raiz22y')^2 + 6(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') - 4(raiz22x' - raiz22y') + 4(raiz22x' + raiz22y') -1 = 0 , facilitando identificar a cônica.

Passo 6

Após desenvolver e simplificar os termos (fazendo as operações algébricas necessárias), a equação resultante será:
10x'^2 + 10y'^2 - 4raiz2x' + 4raiz2y' - 1 = 0
Agora, percebemos que ainda temos termos lineares em x' e y', o que indica que precisamos fazer uma translação dos eixos para centralizar a cônica.

Passo 7

Vamos completar o quadrado para os termos x' e y':
Primeiro, organizamos a equação:
10x'^2 - 4raiz2x' + 10y'^2 + 4raiz2y' = 1
Dividindo por 10 para facilitar:
x'^2 - 2raiz25x' + y'^2 + 2raiz25y' = 110
Agora, completamos os quadrados:
Para x':
x'^2 - 2raiz25x' = (x' - raiz25)^2 - (raiz25)^2
Para y':
y'^2 + 2raiz25y' = (y' + raiz25)^2 - (raiz25)^2
Substituindo de volta na equação:
(x' - raiz25)^2 + (y' + raiz25)^2 - 225 = 110

Passo 8

Agora, ajustamos a equação para isolar os quadrados:
(x' - raiz25)^2 + (y' + raiz25)^2 = 110 + 225 = 550 + 450 = 950
Portanto, a equação canônica fica:
(x' - raiz25)^2 + (y' + raiz25)^2 = 950

Resposta

A equação canônica da cônica é:
(x' - raiz25)^2 + (y' + raiz25)^2 = 950
Trata-se de um círculo com centro em (raiz25, -raiz25) e raio 3raiz210.

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