Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação geral de uma cônica:
O objetivo aqui é encontrar a equação canônica dessa cônica, ou seja, a forma mais simples dela, identificando qual tipo de cônica é (círculo, elipse, parábola ou hipérbole). Para isso, vamos precisar usar conceitos de rotações de eixos e translações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa equação é de uma cônica que precisa ser rotacionada. Notamos que tem um termo
, o que indica que os eixos atuais não estão alinhados com os eixos da cônica. Então, precisamos eliminar esse termo fazendo uma rotação dos eixos.
A ideia é encontrar um ângulo
tal que, ao rotacionar as coordenadas, o termo
desapareça. A fórmula para esse ângulo é:
Aqui,
,
e
(os coeficientes dos termos
,
e
respectivamente).
Passo 3
Vamos calcular o ângulo
:
Como a divisão por zero não é definida, isso significa que
, então:
Isso nos diz que precisamos rotacionar os eixos em
para eliminar o termo
.
Passo 4
Agora, vamos expressar as coordenadas originais
em termos das novas coordenadas
após a rotação:
Com
, temos
. Substituindo:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação original pela expressão acima:
$$5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ - \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right)^2 + 5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ + \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right)^2 + 6\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ - \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ + \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right) - 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ - \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right) + 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x’ + \frac{\sqrt{2}}{2}y’\right) -1 = 0
$$
Isso vai simplificar nossa equação sem o termo
, facilitando identificar a cônica.
Passo 6
Após desenvolver e simplificar os termos (fazendo as operações algébricas necessárias), a equação resultante será:
Agora, percebemos que ainda temos termos lineares em
e
, o que indica que precisamos fazer uma translação dos eixos para centralizar a cônica.
Passo 7
Vamos completar o quadrado para os termos
e
:
Primeiro, organizamos a equação:
Dividindo por 10 para facilitar:
Agora, completamos os quadrados:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 8
Agora, ajustamos a equação para isolar os quadrados:
Portanto, a equação canônica fica:
Resposta
A equação canônica da cônica é:
Trata-se de um círculo com centro em
e raio
.
Exercícios relacionados
Utilize a transformada de Fourier para encontrar uma solução para a seguinte equação diferencial:
sujeita a
.
[A,65] Sejam
e
conjuntos numéricos não vazios. Prove que
e
.
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Verifique que
, é homomorfismo. Calcule
e
. Conclua que
não é monomorfismo e nem epimorfismo.