Sejam
e
dois conjuntos numéricos não vazios, tais que
para todo
e todo
. Prove que
. Com a mesma hipótese, prove ainda que
se, e somente se, qualquer que seja
, existem
e
tais que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos numéricos,
e
, que não estão vazios. A condição dada é que todo elemento de
é menor ou igual a todo elemento de
, ou seja, para todo
e
, temos
. A matéria envolvida aqui são os conceitos de supremo (
) e ínfimo (
). Vamos precisar entender esses conceitos para provar que
e também para mostrar quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa supremo e ínfimo. O supremo de um conjunto
, denotado por
, é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
. Já o ínfimo de um conjunto
, denotado por
, é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de
. Nosso objetivo é provar que
usando a definição desses conceitos.
Passo 3
Sabemos que todo elemento
de
é menor ou igual a todo elemento
de
, ou seja,
para todo
e
. Isso implica que
, que é o menor número maior ou igual a todos os
, também deve ser menor ou igual a qualquer
. Como
é o maior número que é menor ou igual a todos os
, então
deve ser menor ou igual a
.
Passo 4
Agora, vamos provar a segunda parte: que
se, e somente se, para qualquer
, existem
e
tais que
. Isso significa que os conjuntos
e
estão “apertados” de tal forma que não há “espaço” entre eles além de qualquer
positivo pequeno.
Passo 5
Primeiro, assumimos que
. Como
é o menor limite superior de
e
é o maior limite inferior de
, se eles são iguais, então para qualquer
, podemos encontrar um
próximo a
e um
próximo a
de forma que a diferença
seja menor que
.
Passo 6
Da mesma forma, se para qualquer
existirem
e
com
, isso indica que não há diferença real entre
e
, pois podemos aproximar a diferença entre eles tão quanto quisermos, fazendo com que
.
Resposta
Concluímos que
e que
se, e somente se, para qualquer
, existem
e
tais que
.