Sejam e dois conjuntos numéricos não vazios, tais que para todo e todo . Prove que . Com a mesma hipótese, prove ainda que se, e somente se, qualquer que seja , existem e tais que .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos numéricos, e , que não estão vazios. A condição dada é que todo elemento de é menor ou igual a todo elemento de , ou seja, para todo e , temos . A matéria envolvida aqui são os conceitos de supremo ( ) e ínfimo ( ). Vamos precisar entender esses conceitos para provar que e também para mostrar quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa supremo e ínfimo. O supremo de um conjunto , denotado por , é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Já o ínfimo de um conjunto , denotado por , é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de . Nosso objetivo é provar que usando a definição desses conceitos.

Passo 3

Sabemos que todo elemento de é menor ou igual a todo elemento de , ou seja, para todo e . Isso implica que , que é o menor número maior ou igual a todos os , também deve ser menor ou igual a qualquer . Como é o maior número que é menor ou igual a todos os , então deve ser menor ou igual a .

Passo 4

Agora, vamos provar a segunda parte: que se, e somente se, para qualquer , existem e tais que . Isso significa que os conjuntos e estão “apertados” de tal forma que não há “espaço” entre eles além de qualquer positivo pequeno.

Passo 5

Primeiro, assumimos que . Como é o menor limite superior de e é o maior limite inferior de , se eles são iguais, então para qualquer , podemos encontrar um próximo a e um próximo a de forma que a diferença seja menor que .

Passo 6

Da mesma forma, se para qualquer existirem e com , isso indica que não há diferença real entre e , pois podemos aproximar a diferença entre eles tão quanto quisermos, fazendo com que .

Resposta

Concluímos que e que se, e somente se, para qualquer , existem e tais que .

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