Sejam e os vértices de um hexágono regular com centro no ponto
(a) Determine a soma: ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um hexágono regular com vértices e , todos igualmente espaçados ao redor do centro . O exercício solicita que a gente calcule a soma dos vetores que vão de para cada um desses vértices:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria e propriedades dos vetores em polígonos regulares.

Passo 2

Em um polígono regular, como um hexágono, os vetores que vão do centro para cada vértice são simétricos. Isso significa que eles estão igualmente espaçados em ângulos ao redor do centro. No caso do hexágono, cada vértice está separado dos outros por um ângulo de .

Passo 3

Devido a essa simetria, quando somamos todos esses vetores, eles vão se “cancelar” mutuamente. Pense em cada vetor tendo um vetor oposto que tem a mesma magnitude, mas direção contrária. Por exemplo, e são vetores opostos.

Passo 4

Vamos visualizar isso matematicamente. Se representarmos cada vetor em coordenadas, somando todos os vetores de um círculo regular sempre resulta em uma soma vetorial nula, pois suas componentes nas direções x e y se cancelam.

Passo 5

Portanto, somando todos os vetores , obtemos o vetor nulo.

Resposta

A soma dos vetores é o vetor nulo, ou seja:

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Sejam e dois conjuntos numéricos não vazios, tais que para todo e todo . Prove que . Com a mesma hipótese, prove ainda que se, e somente se, qualquer que seja , existem e tais que .
Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: a) O conjunto com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais;
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: b) ;
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: g) ;