Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: a) O conjunto R^2 com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto R^2, que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, é um espaço vetorial real quando usamos a adição e a multiplicação por escalar de forma usual. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde dá pra fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (números reais, no nosso caso). Mas não é só isso, esse conjunto tem que satisfazer um montão de regras, chamadas de axiomas, para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos listar os principais axiomas que precisamos verificar para garantir que R^2 é um espaço vetorial:
  1. Fechamento em relação à adição: Se a gente somar dois vetores de R^2, o resultado também tem que estar em R^2.
  2. Comutatividade da adição: A ordem da soma não muda o resultado. Ou seja, u + v = v + u.
  3. Associatividade da adição: A forma como a gente agrupa os vetores na soma não altera o resultado. Então, (u + v) + w = u + (v + w).
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor. Esse vetor é o vetor zero.
  5. Existência de inversos aditivos: Para todo vetor, existe outro vetor que, quando somados, dá o vetor zero.
  6. Fechamento em relação à multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar um vetor de R^2 por um número real, o resultado também tem que estar em R^2.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: a(u + v) = au + av.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (a + b)u = au + bu.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: a(bu) = (ab)u.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1u = u.

Passo 4

Vamos verificar cada um desses axiomas para R^2 com a adição e multiplicação por escalar usuais.
  1. Fechamento em relação à adição: Se pegar dois vetores quaisquer, por exemplo, (x1, y1) e (x2, y2), e somar, a gente tem (x1 + x2, y1 + y2). Como a soma de dois números reais é um número real, o resultado também está em R^2.
  2. Comutatividade da adição: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1).
  3. Associatividade da adição: [(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3). Já (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3). Os dois dão o mesmo resultado.
  4. Elemento neutro da adição: O vetor (0, 0) atua como o vetor zero. (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y).
  5. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor (x, y), o inverso aditivo é (-x, -y), porque (x, y) + (-x, -y) = (0, 0).
  6. Fechamento em relação à multiplicação por escalar: Se multiplicar um vetor (x, y) por um escalar a, temos (a x, a y). Novamente, como multiplicar números reais resulta em números reais, o vetor resultante está em R^2.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
    a[(x1, y1) + (x2, y2)] = a(x1 + x2, y1 + y2) = (a(x1 + x2), a(y1 + y2)) = (a x1 + a x2, a y1 + a y2) = a(x1, y1) + a(x2, y2).
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
    (a + b)(x, y) = ((a + b)x, (a + b)y) = (a x + b x, a y + b y) = (a x, a y) + (b x, b y) = a(x, y) + b(x, y).
  9. Associatividade da multiplicação por escalar:
    a(b(x, y)) = a(b x, b y) = (a(b x), a(b y)) = ((a b) x, (a b) y) = (a b)(x, y).
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
    1(x, y) = (1 cdot x, 1 cdot y) = (x, y).

Resposta

Como todos os axiomas de um espaço vetorial foram satisfeitos, podemos concluir que o conjunto R^2, com a adição e a multiplicação por escalar usuais, é de fato um espaço vetorial real.

Exercícios relacionados