Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: a) O conjunto com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto , que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, é um espaço vetorial real quando usamos a adição e a multiplicação por escalar de forma usual. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde dá pra fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (números reais, no nosso caso). Mas não é só isso, esse conjunto tem que satisfazer um montão de regras, chamadas de axiomas, para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 3

Vamos listar os principais axiomas que precisamos verificar para garantir que é um espaço vetorial:
  1. Fechamento em relação à adição: Se a gente somar dois vetores de , o resultado também tem que estar em .
  2. Comutatividade da adição: A ordem da soma não muda o resultado. Ou seja, .
  3. Associatividade da adição: A forma como a gente agrupa os vetores na soma não altera o resultado. Então, .
  4. Elemento neutro da adição: Existe um vetor que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor. Esse vetor é o vetor zero.
  5. Existência de inversos aditivos: Para todo vetor, existe outro vetor que, quando somados, dá o vetor zero.
  6. Fechamento em relação à multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar um vetor de por um número real, o resultado também tem que estar em .
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .

Passo 4

Vamos verificar cada um desses axiomas para com a adição e multiplicação por escalar usuais.
  1. Fechamento em relação à adição: Se pegar dois vetores quaisquer, por exemplo, e , e somar, a gente tem . Como a soma de dois números reais é um número real, o resultado também está em .
  2. Comutatividade da adição: .
  3. Associatividade da adição: . Já . Os dois dão o mesmo resultado.
  4. Elemento neutro da adição: O vetor atua como o vetor zero. .
  5. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor , o inverso aditivo é , porque .
  6. Fechamento em relação à multiplicação por escalar: Se multiplicar um vetor por um escalar , temos . Novamente, como multiplicar números reais resulta em números reais, o vetor resultante está em .
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
    .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
    .
  9. Associatividade da multiplicação por escalar:
    .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
    .

Resposta

Como todos os axiomas de um espaço vetorial foram satisfeitos, podemos concluir que o conjunto , com a adição e a multiplicação por escalar usuais, é de fato um espaço vetorial real.

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Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: b) O conjunto com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais;
Sejam e .
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Sejam e dois conjuntos numéricos não vazios, tais que para todo e todo . Prove que . Com a mesma hipótese, prove ainda que se, e somente se, qualquer que seja , existem e tais que .
Sejam e os vértices de um hexágono regular com centro no ponto
(a) Determine a soma: ;