Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: a) O conjunto
com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto
, que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, é um espaço vetorial real quando usamos a adição e a multiplicação por escalar de forma usual. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde dá pra fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (números reais, no nosso caso). Mas não é só isso, esse conjunto tem que satisfazer um montão de regras, chamadas de axiomas, para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 3
Vamos listar os principais axiomas que precisamos verificar para garantir que
é um espaço vetorial:
- Fechamento em relação à adição: Se a gente somar dois vetores de
, o resultado também tem que estar em . - Comutatividade da adição: A ordem da soma não muda o resultado. Ou seja,
. - Associatividade da adição: A forma como a gente agrupa os vetores na soma não altera o resultado. Então,
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor que, quando somado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor. Esse vetor é o vetor zero.
- Existência de inversos aditivos: Para todo vetor, existe outro vetor que, quando somados, dá o vetor zero.
- Fechamento em relação à multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar um vetor de
por um número real, o resultado também tem que estar em . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Passo 4
Vamos verificar cada um desses axiomas para
com a adição e multiplicação por escalar usuais.
-
Fechamento em relação à adição: Se pegar dois vetores quaisquer, por exemplo,
e , e somar, a gente tem . Como a soma de dois números reais é um número real, o resultado também está em . -
Comutatividade da adição:
. -
Associatividade da adição:
. Já . Os dois dão o mesmo resultado. -
Elemento neutro da adição: O vetor
atua como o vetor zero. . -
Existência de inversos aditivos: Para cada vetor
, o inverso aditivo é , porque . -
Fechamento em relação à multiplicação por escalar: Se multiplicar um vetor
por um escalar , temos . Novamente, como multiplicar números reais resulta em números reais, o vetor resultante está em . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. -
Associatividade da multiplicação por escalar:
. -
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Resposta
Como todos os axiomas de um espaço vetorial foram satisfeitos, podemos concluir que o conjunto
, com a adição e a multiplicação por escalar usuais, é de fato um espaço vetorial real.
Exercícios relacionados
Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: b) O conjunto
com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais;
Sejam
e
.
(b) o quadrilátero é um paralelogramo ?
(b) o quadrilátero
Sejam
e
os vértices de um hexágono regular com centro no ponto
(a) Determine a soma: ;
(a) Determine a soma: