Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: b) W=f: R R ; f(-x)=f(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, a gente precisa checar se satisfaz três condições básicas: ser não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se não está vazio. Um jeito fácil de fazer isso é encontrar uma função que pertença a . Por exemplo, a função zero constante, , está em porque . Então, não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos checar se (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções e que estão em , a soma delas também deve estar em . Vamos verificar:
Como também satisfaz , a soma de duas funções em também está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se (c cdot f)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot f(x) = (c cdot f)(x) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se está em e é um número real, então a função também deve estar em . Vamos conferir:
A função também satisfaz , então é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial.

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