Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: b) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, a gente precisa checar se satisfaz três condições básicas: ser não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se não está vazio. Um jeito fácil de fazer isso é encontrar uma função que pertença a . Por exemplo, a função zero constante, , está em porque . Então, não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções e que estão em , a soma delas também deve estar em . Vamos verificar:
Como também satisfaz , a soma de duas funções em também está em . Então, é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se está em e é um número real, então a função também deve estar em . Vamos conferir:
A função também satisfaz , então é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial.