Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: b)
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, a gente precisa checar se
satisfaz três condições básicas: ser não vazio, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
não está vazio. Um jeito fácil de fazer isso é encontrar uma função que pertença a
. Por exemplo, a função zero constante,
, está em
porque
. Então,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções
e
que estão em
, a soma delas
também deve estar em
. Vamos verificar:
Como
também satisfaz
, a soma de duas funções em
também está em
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se
está em
e
é um número real, então a função
também deve estar em
. Vamos conferir:
A função
também satisfaz
, então
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço vetorial.