Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: b) O conjunto com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto com a adição e multiplicação por escalar habituais é um espaço vetorial real. Basicamente, isso significa que precisamos checar se satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial e verificar cada um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a adição usual e a multiplicação por escalar usual em .
  • Adição Usual: Se temos dois vetores e em , a adição deles é definida componente a componente:
  • Multiplicação por Escalar Usual: Se é um número real e é um vetor em , então:

Passo 3

Agora, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial. Um conjunto com adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial se satisfaz os seguintes 8 axiomas:
  1. Comutatividade da Adição:
    2. Associatividade da Adição:
  2. Existência do Vetor Nulo:
    Existe um vetor tal que:
    4. Existência do Vetor Oposto:
    Para cada , existe tal que:
  3. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
    6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
  4. Associatividade da Multiplicação por Escalar:
    8. Existência da Unidade da Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas para .

Passo 4

1. Comutatividade da Adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer:
Computando e :
Como a adição de números reais é comutativa ( ), temos que:
Portanto, a comutatividade da adição é satisfeita.

Passo 5

2. Associatividade da Adição
Vamos pegar três vetores quaisquer:
Calculando e :
Como a adição de números reais é associativa ( ), temos que:
Portanto, a associatividade da adição é satisfeita.

Passo 6

3. Existência do Vetor Nulo
O vetor nulo em é:
Vamos verificar se, para qualquer vetor :
Calculando:
Portanto, o vetor nulo existe e funciona como esperado.

Passo 7

4. Existência do Vetor Oposto
Para cada vetor , o vetor oposto é:
Vamos verificar se:
Calculando:
Portanto, para cada vetor, existe um vetor oposto que satisfaz a condição.

Passo 8

5. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Queremos mostrar que:
Vamos calcular ambos os lados:
  • Lado Esquerdo:
  • Lado Direito:
Como distributividade na multiplicação real funciona ( ), temos:
Portanto, a distributividade está satisfeita.

Passo 9

6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Queremos mostrar que:
Calculando ambos os lados:
  • Lado Esquerdo:
  • Lado Direito:
Como a adição e multiplicação são associativas nos reais, os dois lados são iguais:
Portanto, a distributividade em relação à adição de escalares está satisfeita.

Passo 10

7. Associatividade da Multiplicação por Escalar
Queremos mostrar que:
Calculando ambos os lados:
  • Lado Esquerdo:
  • Lado Direito:
Ambos os lados resultam no mesmo vetor:
Portanto, a associatividade da multiplicação por escalar está satisfeita.

Passo 11

8. Existência da Unidade da Multiplicação por Escalar
Queremos mostrar que:
Calculando:
Portanto, a unidade da multiplicação por escalar está satisfeita.

Resposta

Como todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, concluímos que o conjunto com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais é realmente um espaço vetorial real.

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