Verifique que os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais. Em qualquer caso, justifique sua resposta: b) O conjunto R^3 com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto R^3 com a adição e multiplicação por escalar habituais é um espaço vetorial real. Basicamente, isso significa que precisamos checar se R^3 satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial e verificar cada um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a adição usual e a multiplicação por escalar usual em R^3.
  • Adição Usual: Se temos dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) em R^3, a adição deles é definida componente a componente:
    u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
  • Multiplicação por Escalar Usual: Se c é um número real e u = (u1, u2, u3) é um vetor em R^3, então:
    c cdot u = (c u1, c u2, c u3)

Passo 3

Agora, vamos verificar os axiomas de espaço vetorial. Um conjunto com adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial se satisfaz os seguintes 8 axiomas:
  1. Comutatividade da Adição: u + v = v + u
    2. Associatividade da Adição:
    (u + v) + w = u + (v + w)
  2. Existência do Vetor Nulo:
    Existe um vetor 0 tal que: u + 0 = u
    4. Existência do Vetor Oposto:
    Para cada u, existe -u tal que:
    u + (-u) = 0
  3. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores: c cdot (u + v) = c cdot u + c cdot v
    6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
    (c + d) cdot u = c cdot u + d cdot u
  4. Associatividade da Multiplicação por Escalar: c cdot (d cdot u) = (c d) cdot u
    8. Existência da Unidade da Multiplicação por Escalar:
    1 cdot u = u
Vamos verificar cada um desses axiomas para R^3.

Passo 4

1. Comutatividade da Adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer:
u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3)
Computando u + v e v + u:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
v + u = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3)
Como a adição de números reais é comutativa ( a + b = b + a), temos que:
u + v = v + u
Portanto, a comutatividade da adição é satisfeita.

Passo 5

2. Associatividade da Adição
Vamos pegar três vetores quaisquer:
u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3)
w = (w1, w2, w3)
Calculando (u + v) + w e u + (v + w):
(u + v) + w = ((u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2, (u3 + v3) + w3)
u + (v + w) = (u1 + (v1 + w1), u2 + (v2 + w2), u3 + (v3 + w3))
Como a adição de números reais é associativa ( a + (b + c) = (a + b) + c), temos que:
(u + v) + w = u + (v + w)
Portanto, a associatividade da adição é satisfeita.

Passo 6

3. Existência do Vetor Nulo
O vetor nulo em R^3 é:
0 = (0, 0, 0)
Vamos verificar se, para qualquer vetor u = (u1, u2, u3):
u + 0 = u
Calculando:
u + 0 = (u1 + 0, u2 + 0, u3 + 0) = (u1, u2, u3) = u
Portanto, o vetor nulo existe e funciona como esperado.

Passo 7

4. Existência do Vetor Oposto
Para cada vetor u = (u1, u2, u3), o vetor oposto é:
-u = (-u1, -u2, -u3)
Vamos verificar se:
u + (-u) = 0
Calculando:
u + (-u) = (u1 - u1, u2 - u2, u3 - u3) = (0, 0, 0) = 0
Portanto, para cada vetor, existe um vetor oposto que satisfaz a condição.

Passo 8

5. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Queremos mostrar que:
c cdot (u + v) = c cdot u + c cdot v
Vamos calcular ambos os lados:
  • Lado Esquerdo:
    u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
    c cdot (u + v) = (c(u1 + v1), c(u2 + v2), c(u3 + v3))
  • Lado Direito:
    c cdot u = (c u1, c u2, c u3)
    c cdot v = (c v1, c v2, c v3)
    c cdot u + c cdot v = (c u1 + c v1, c u2 + c v2, c u3 + c v3)
Como distributividade na multiplicação real funciona ( c(a + b) = c a + c b), temos:
c cdot (u + v) = c cdot u + c cdot v
Portanto, a distributividade está satisfeita.

Passo 9

6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Queremos mostrar que:
(c + d) cdot u = c cdot u + d cdot u
Calculando ambos os lados:
  • Lado Esquerdo:
    (c + d) cdot u = ((c + d)u1, (c + d)u2, (c + d)u3)
  • Lado Direito:
    c cdot u + d cdot u = (c u1 + d u1, c u2 + d u2, c u3 + d u3)
    = ((c + d)u1, (c + d)u2, (c + d)u3)
Como a adição e multiplicação são associativas nos reais, os dois lados são iguais:
(c + d) cdot u = c cdot u + d cdot u
Portanto, a distributividade em relação à adição de escalares está satisfeita.

Passo 10

7. Associatividade da Multiplicação por Escalar
Queremos mostrar que:
c cdot (d cdot u) = (c d) cdot u
Calculando ambos os lados:
  • Lado Esquerdo:
    d cdot u = (d u1, d u2, d u3)
    c cdot (d cdot u) = (c(d u1), c(d u2), c(d u3)) = ((c d) u1, (c d) u2, (c d) u3)
  • Lado Direito:
    (c d) cdot u = ((c d)u1, (c d)u2, (c d)u3)
Ambos os lados resultam no mesmo vetor:
c cdot (d cdot u) = (c d) cdot u
Portanto, a associatividade da multiplicação por escalar está satisfeita.

Passo 11

8. Existência da Unidade da Multiplicação por Escalar
Queremos mostrar que:
1 cdot u = u
Calculando:
1 cdot u = (1 cdot u1, 1 cdot u2, 1 cdot u3) = (u1, u2, u3) = u
Portanto, a unidade da multiplicação por escalar está satisfeita.

Resposta

Como todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, concluímos que o conjunto R^3 com a adição usual e a multiplicação por escalar usuais é realmente um espaço vetorial real.

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