Seja
uma matriz
e seja
o polinômio característico de
. Mostre que
e que
Passo 1
Então, temos uma matriz
de tamanho
e um polinômio característico dado por
. O objetivo é mostrar que o coeficiente
é igual ao negativo da traça de
, ou seja,
, e que o coeficiente
é igual ao determinante de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são a traça, o determinante e o polinômio característico de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o polinômio característico de uma matriz. Para qualquer matriz quadrada
, o polinômio característico é definido por
, onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
e
representa o determinante da matriz. Esse polinômio nos dá informações importantes sobre a matriz, como seus autovalores.
Passo 3
Vamos calcular o polinômio característico
para a matriz
de ordem
. Seja
. Então, temos:
O determinante dessa matriz é:
Passo 4
Expandindo a expressão do determinante, temos:
Organizando os termos:
Passo 5
Comparando com o polinômio característico dado no enunciado,
, podemos igualar os coeficientes correspondentes:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Resolvendo a primeira equação:
, ou seja,
. A soma dos elementos da diagonal principal de
,
, é conhecida como a traça de
, representada por
. Portanto, temos:
Passo 7
Agora, olhando para o termo constante, temos
. Sabemos que
é o determinante de
, ou seja,
. Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que
e
.