Seja A uma matriz 2 times 2 e seja p(lambda)=lambda^2+b lambda+c o polinômio característico de A. Mostre que b=-tr(A) e que c=det(A)

Passo 1

Então, temos uma matriz A de tamanho 2 times 2 e um polinômio característico dado por p(lambda) = lambda^2 + b lambda + c. O objetivo é mostrar que o coeficiente b é igual ao negativo da traça de A, ou seja, b = -tr(A), e que o coeficiente c é igual ao determinante de A, ou seja, c = det(A). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são a traça, o determinante e o polinômio característico de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o polinômio característico de uma matriz. Para qualquer matriz quadrada A, o polinômio característico é definido por p(lambda) = det(A - lambda I), onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A e det representa o determinante da matriz. Esse polinômio nos dá informações importantes sobre a matriz, como seus autovalores.

Passo 3

Vamos calcular o polinômio característico p(lambda) para a matriz A de ordem 2 times 2. Seja A = a & b c & d . Então, temos:
A - lambda I = a - lambda & b c & d - lambda
O determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (a - lambda)(d - lambda) - bc

Passo 4

Expandindo a expressão do determinante, temos:
det(A - lambda I) = (a cdot d) - a lambda - d lambda + lambda^2 - b c
Organizando os termos:
det(A - lambda I) = lambda^2 - (a + d)lambda + (a d - b c)

Passo 5

Comparando com o polinômio característico dado no enunciado, p(lambda) = lambda^2 + b lambda + c, podemos igualar os coeficientes correspondentes:
  • Coeficiente de lambda: - (a + d) = b
  • Termo constante: a d - b c = c

Passo 6

Resolvendo a primeira equação: - (a + d) = b, ou seja, b = - (a + d). A soma dos elementos da diagonal principal de A, a + d, é conhecida como a traça de A, representada por tr(A). Portanto, temos:
b = - tr(A)

Passo 7

Agora, olhando para o termo constante, temos a d - b c = c. Sabemos que a d - b c é o determinante de A, ou seja, det(A). Portanto:
c = det(A)

Resposta

Assim, mostramos que b = -tr(A) e c = det(A).

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