Seja uma matriz e seja o polinômio característico de . Mostre que e que
Passo 1
Então, temos uma matriz de tamanho e um polinômio característico dado por . O objetivo é mostrar que o coeficiente é igual ao negativo da traça de , ou seja, , e que o coeficiente é igual ao determinante de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são a traça, o determinante e o polinômio característico de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o polinômio característico de uma matriz. Para qualquer matriz quadrada , o polinômio característico é definido por , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que e representa o determinante da matriz. Esse polinômio nos dá informações importantes sobre a matriz, como seus autovalores.
Passo 3
Vamos calcular o polinômio característico para a matriz de ordem . Seja . Então, temos:
O determinante dessa matriz é:
Passo 4
Expandindo a expressão do determinante, temos:
Organizando os termos:
Passo 5
Comparando com o polinômio característico dado no enunciado, , podemos igualar os coeficientes correspondentes:
Coeficiente de :
Termo constante:
Passo 6
Resolvendo a primeira equação: , ou seja, . A soma dos elementos da diagonal principal de , , é conhecida como a traça de , representada por . Portanto, temos:
Passo 7
Agora, olhando para o termo constante, temos . Sabemos que é o determinante de , ou seja, . Portanto: