Seja uma matriz e seja o polinômio característico de . Mostre que e que

Passo 1

Então, temos uma matriz de tamanho e um polinômio característico dado por . O objetivo é mostrar que o coeficiente é igual ao negativo da traça de , ou seja, , e que o coeficiente é igual ao determinante de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são a traça, o determinante e o polinômio característico de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o polinômio característico de uma matriz. Para qualquer matriz quadrada , o polinômio característico é definido por , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que e representa o determinante da matriz. Esse polinômio nos dá informações importantes sobre a matriz, como seus autovalores.

Passo 3

Vamos calcular o polinômio característico para a matriz de ordem . Seja . Então, temos:
O determinante dessa matriz é:

Passo 4

Expandindo a expressão do determinante, temos:
Organizando os termos:

Passo 5

Comparando com o polinômio característico dado no enunciado, , podemos igualar os coeficientes correspondentes:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 6

Resolvendo a primeira equação: , ou seja, . A soma dos elementos da diagonal principal de , , é conhecida como a traça de , representada por . Portanto, temos:

Passo 7

Agora, olhando para o termo constante, temos . Sabemos que é o determinante de , ou seja, . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que e .

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Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
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[A, 9] Prove que a soma de dois números pares quaisquer é sempre um número par. Podemos afirmar que este resultado é equivalente para números ímpares? Justifique.
(d) (1pt) Encontre onde
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