()A sequência é de Cauchy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a sequência é uma sequência de Cauchy. Isso está relacionado ao conteúdo de Análise de Sequências e Séries, especificamente sobre sequências de Cauchy. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência de Cauchy e verificar se a sequência cumpre os critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência de Cauchy. Basicamente, uma sequência é de Cauchy se, à medida que avançamos na sequência, os termos ficam cada vez mais próximos uns dos outros. Mais formalmente, para todo número positivo , por maior que seja, existe um ponto na sequência a partir do qual a distância entre quaisquer dois termos é menor que .

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência . Vamos observar como os termos dessa sequência se comportam à medida que aumenta:
É claro que os termos estão crescendo exponencialmente. Ou seja, a cada passo, eles dobram de valor. Isso significa que, conforme aumenta, a diferença entre e para também aumenta.

Passo 4

Vamos verificar isso matematicamente. Queremos ver se para todo , existe um tal que para todos , a condição é satisfeita.
Considerando que , temos:
Como cresce à medida que e aumentam, também cresce exponencialmente, fazendo com que se torne cada vez maior, não menor.

Passo 5

Como a diferença aumenta sem limites à medida que e aumentam, não conseguimos encontrar um que satisfaça a condição de Cauchy para qualquer . Portanto, a sequência não atende à definição de sequência de Cauchy.

Resposta

Não, a sequência não é uma sequência de Cauchy.

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Encontre o máximo e o mínido de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e .
O máximo e o mínimo de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e são respectivamente:
(a) 3 e
Mostre que o subconjunto é aberto em . Dica: é aberto em .
Para e funções contínuas , mostre que a função dada por é contínua.