()A sequência
é de Cauchy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a sequência
é uma sequência de Cauchy. Isso está relacionado ao conteúdo de Análise de Sequências e Séries, especificamente sobre sequências de Cauchy. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência de Cauchy e verificar se a sequência
cumpre os critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência de Cauchy. Basicamente, uma sequência é de Cauchy se, à medida que avançamos na sequência, os termos ficam cada vez mais próximos uns dos outros. Mais formalmente, para todo número positivo
, por maior que seja, existe um ponto na sequência a partir do qual a distância entre quaisquer dois termos é menor que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência
. Vamos observar como os termos dessa sequência se comportam à medida que
aumenta:
É claro que os termos estão crescendo exponencialmente. Ou seja, a cada passo, eles dobram de valor. Isso significa que, conforme
aumenta, a diferença entre
e
para
também aumenta.
Passo 4
Vamos verificar isso matematicamente. Queremos ver se para todo
, existe um
tal que para todos
, a condição
é satisfeita.
Considerando que
, temos:
Como
cresce à medida que
e
aumentam,
também cresce exponencialmente, fazendo com que
se torne cada vez maior, não menor.
Passo 5
Como a diferença
aumenta sem limites à medida que
e
aumentam, não conseguimos encontrar um
que satisfaça a condição de Cauchy para qualquer
. Portanto, a sequência não atende à definição de sequência de Cauchy.
Resposta
Não, a sequência
não é uma sequência de Cauchy.
Exercícios relacionados
Encontre o máximo e o mínido de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
.
O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(a) 3 e
(a) 3 e
Mostre que o subconjunto
é aberto em
. Dica:
é aberto em
.
Para
e funções contínuas
, mostre que a função
dada por
é contínua.