Mostre que o subconjunto é aberto em . Dica: é aberto em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o conjunto é um conjunto aberto em . Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e usar um pouco de teoria sobre funções contínuas. A dica nos lembra que o intervalo é aberto em , o que vai nos ajudar na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a desigualdade que define o conjunto . Temos:
Vamos somar 5 dos dois lados para isolar o lado direito:
Então, o conjunto pode ser reescrito como:

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma função que represente a expressão dentro da desigualdade. Vamos definir:
Queremos encontrar os valores de para os quais . Para isso, precisamos entender o comportamento dessa função.

Passo 4

Observamos que é um polinômio de grau 200. Como o grau é par e o coeficiente líder (7) é positivo, sabemos que tende a quando tende a ou . Além disso, polinômios são funções contínuas em .

Passo 5

Como a função é contínua e estamos interessados no conjunto onde , podemos relacionar isso ao conceito de conjuntos abertos. Em análise, o preimagem de um conjunto aberto através de uma função contínua também é aberto.

Passo 6

Sabemos que o intervalo é um conjunto aberto em . Nossa desigualdade está exatamente descrevendo esse intervalo no valor da função. Então, o conjunto é a preimagem de pela função contínua .

Passo 7

Como a função é contínua e é aberto, pela propriedade das funções contínuas, a preimagem também é aberta em .

Resposta

Portanto, o subconjunto é aberto em .

Exercícios relacionados

()A sequência é de Cauchy.
Encontre o máximo e o mínido de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e .
Para e funções contínuas , mostre que a função dada por é contínua.
Assumindo que e para quaisquer , mostre que se para todo , então para todo .