Mostre que o subconjunto
é aberto em
. Dica:
é aberto em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o conjunto
é um conjunto aberto em
. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser aberto e usar um pouco de teoria sobre funções contínuas. A dica nos lembra que o intervalo
é aberto em
, o que vai nos ajudar na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a desigualdade que define o conjunto
. Temos:
Vamos somar 5 dos dois lados para isolar o lado direito:
Então, o conjunto
pode ser reescrito como:
Passo 3
Agora, vamos pensar em uma função que represente a expressão dentro da desigualdade. Vamos definir:
Queremos encontrar os valores de
para os quais
. Para isso, precisamos entender o comportamento dessa função.
Passo 4
Observamos que
é um polinômio de grau 200. Como o grau é par e o coeficiente líder (7) é positivo, sabemos que
tende a
quando
tende a
ou
. Além disso, polinômios são funções contínuas em
.
Passo 5
Como a função
é contínua e estamos interessados no conjunto onde
, podemos relacionar isso ao conceito de conjuntos abertos. Em análise, o preimagem de um conjunto aberto através de uma função contínua também é aberto.
Passo 6
Sabemos que o intervalo
é um conjunto aberto em
. Nossa desigualdade
está exatamente descrevendo esse intervalo no valor da função. Então, o conjunto
é a preimagem de
pela função contínua
.
Passo 7
Como a função
é contínua e
é aberto, pela propriedade das funções contínuas, a preimagem
também é aberta em
.
Resposta
Portanto, o subconjunto
é aberto em
.
Exercícios relacionados
()A sequência
é de Cauchy.
Encontre o máximo e o mínido de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
.
Para
e funções contínuas
, mostre que a função
dada por
é contínua.
Assumindo que
e
para quaisquer
, mostre que se
para todo
, então
para todo
.