O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(a) 3 e
(a) 3 e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o máximo e o mínimo da função
dentro de um triângulo que tem os vértices nos pontos
,
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é otimização de funções de duas variáveis e análise de restrições em regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais da função, encontrar pontos críticos e avaliar a função nas bordas do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E em relação a
:
Igualando as duas a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora precisamos verificar se esse ponto
está dentro do triângulo definido pelos vértices
,
e
. Lembrando que no triângulo,
,
e
.
Calculando
para o ponto crítico:
Então, o ponto
está na borda do triângulo e pertence à região que estamos analisando.
Passo 4
Agora vamos calcular o valor da função
nesse ponto crítico:
Simplificando:
Passo 5
Em seguida, precisamos avaliar a função nas bordas do triângulo para garantir que não exista algum valor maior ou menor fora do ponto crítico encontrado.
As bordas são:
- Entre (0,0) e (1,0): Aqui,
. A função fica:
Esta é uma parábola que atinge seu mínimo em
:
- Entre (0,0) e (0,1): Aqui,
. A função fica:
Também uma parábola com mínimo em
:
- Entre (1,0) e (0,1): Aqui,
, então podemos escrever . A função fica:
Simplificando:
Esta parábola atinge seu mínimo em
:
Passo 6
Comparando todos os valores encontrados:
- No ponto crítico:
- Nas bordas:
O mínimo é
e o máximo é
.
Resposta
O mínimo é
e o máximo é
.
Exercícios relacionados
Sobre
na região
© o máximo de é menor que 4.
© o máximo de
O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(d) 1 e 2
(d) 1 e 2
Encontre o máximo e o mínido de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
.
()A sequência
é de Cauchy.