O máximo e o mínimo de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e são respectivamente:
(a) 3 e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o máximo e o mínimo da função dentro de um triângulo que tem os vértices nos pontos , e . O conteúdo que vamos usar aqui é otimização de funções de duas variáveis e análise de restrições em regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais da função, encontrar pontos críticos e avaliar a função nas bordas do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E em relação a :
Igualando as duas a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora precisamos verificar se esse ponto está dentro do triângulo definido pelos vértices , e . Lembrando que no triângulo, , e .
Calculando para o ponto crítico:
Então, o ponto está na borda do triângulo e pertence à região que estamos analisando.

Passo 4

Agora vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Simplificando:

Passo 5

Em seguida, precisamos avaliar a função nas bordas do triângulo para garantir que não exista algum valor maior ou menor fora do ponto crítico encontrado.
As bordas são:
  1. Entre (0,0) e (1,0): Aqui, . A função fica:
Esta é uma parábola que atinge seu mínimo em :
  1. Entre (0,0) e (0,1): Aqui, . A função fica:
Também uma parábola com mínimo em :
  1. Entre (1,0) e (0,1): Aqui, , então podemos escrever . A função fica:
Simplificando:
Esta parábola atinge seu mínimo em :

Passo 6

Comparando todos os valores encontrados:
  • No ponto crítico:
  • Nas bordas:
O mínimo é e o máximo é .

Resposta

O mínimo é e o máximo é .

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Sobre na região
© o máximo de é menor que 4.
O máximo e o mínimo de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e são respectivamente:
(d) 1 e 2
Encontre o máximo e o mínido de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e .
()A sequência é de Cauchy.