Para
e funções contínuas
, mostre que a função
dada por
é contínua.
Passo 1
Beleza! A gente tem que mostrar que a função
é contínua, onde
e
são funções contínuas de um conjunto
para
. Vamos usar conceitos de cálculo sobre continuidade e operações com funções contínuas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função
é contínua em um ponto
se, ao nos aproximarmos de
, os valores de
se aproximam de
. Isso vale para todo ponto no domínio da função.
Passo 3
Agora, precisamos analisar a função
. Essa função pega o menor valor entre
e
para cada
em
. Queremos mostrar que
também tem essa propriedade de continuidade.
Passo 4
Sabemos que as funções
e
são contínuas. Isso significa que as operações básicas com essas funções, como soma, produto e, mais importante para a gente agora, a função máxima e mínima, preservam a continuidade.
Passo 5
Para ser mais preciso, a função mínimo de duas funções contínuas também é contínua. Isso porque, intuitivamente, se
e
não têm “saltos” (são contínuas), o menor entre eles também não terá “saltos”.
Passo 6
Podemos formalizar isso usando a propriedade de que o mínimo de duas funções contínuas pode ser expressado como:
Como
e
são contínuas, suas soma, diferença e o valor absoluto também são contínuos. Portanto,
é uma combinação de funções contínuas, o que garante sua continuidade.
Resposta
A função
é contínua.
Exercícios relacionados
Mostre que o subconjunto
é aberto em
. Dica:
é aberto em
.
()A sequência
é de Cauchy.
Assumindo que
e
para quaisquer
, mostre que se
para todo
, então
para todo
.
Considere
contínua em
e diferenciável em
. É possível afirmar que a função
é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.