Para e funções contínuas , mostre que a função dada por é contínua.

Passo 1

Beleza! A gente tem que mostrar que a função é contínua, onde e são funções contínuas de um conjunto para . Vamos usar conceitos de cálculo sobre continuidade e operações com funções contínuas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se, ao nos aproximarmos de , os valores de se aproximam de . Isso vale para todo ponto no domínio da função.

Passo 3

Agora, precisamos analisar a função . Essa função pega o menor valor entre e para cada em . Queremos mostrar que também tem essa propriedade de continuidade.

Passo 4

Sabemos que as funções e são contínuas. Isso significa que as operações básicas com essas funções, como soma, produto e, mais importante para a gente agora, a função máxima e mínima, preservam a continuidade.

Passo 5

Para ser mais preciso, a função mínimo de duas funções contínuas também é contínua. Isso porque, intuitivamente, se e não têm “saltos” (são contínuas), o menor entre eles também não terá “saltos”.

Passo 6

Podemos formalizar isso usando a propriedade de que o mínimo de duas funções contínuas pode ser expressado como:
Como e são contínuas, suas soma, diferença e o valor absoluto também são contínuos. Portanto, é uma combinação de funções contínuas, o que garante sua continuidade.

Resposta

A função é contínua.

Exercícios relacionados

Mostre que o subconjunto é aberto em . Dica: é aberto em .
()A sequência é de Cauchy.
Assumindo que e para quaisquer , mostre que se para todo , então para todo .
Considere contínua em e diferenciável em . É possível afirmar que a função é limitada? Se sim, prove. Se não, dê um contraexemplo.