Encontre o máximo e o mínido de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
dentro de um triângulo formado pelos vértices
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização em regiões fechadas. Para resolver, vamos precisar achar os pontos críticos da função dentro da região e também verificar os valores nos limites do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2), temos
. Substituindo na equação (1):
Então,
. O ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar se esse ponto está dentro da região delimitada pelo triângulo
,
,
. Claramente,
está no vértice do triângulo, então está incluso na região.
Passo 6
Em seguida, precisamos verificar os valores da função nos limites do triângulo. O triângulo tem três arestas:
- De
a - De
a - De
a
Vamos parametrizar cada uma dessas arestas e encontrar os extremos em cada segmento.
Passo 7
Primeira aresta: de
a
Aqui, e
varia de 0 a 1.
A função fica:
Aqui,
A função fica:
Para encontrar extremos, derivamos em relação a
:
Igualando a zero:
Então, temos o ponto
. Já avaliamos esse ponto anteriormente.
Passo 8
Segunda aresta: de
a
Aqui, e
varia de 0 a 1.
A função fica:
Aqui,
A função fica:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Então, temos o ponto
.
Passo 9
Terceira aresta: de
a
Aqui, a reta que liga a
é
. Então,
e
varia de 0 a 1.
A função fica:
Aqui, a reta que liga
A função fica:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Então, temos o ponto
, que já avaliamos.
Passo 10
Agora, vamos resumir os pontos que encontramos:
-
: já está dentro do triângulo. -
: está na segunda aresta do triângulo.
Vamos calcular o valor da função em cada ponto:
Resposta
O máximo de
na região é 2 no ponto
e o mínimo é 1 no ponto
.
Exercícios relacionados
O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(a) 3 e
(a) 3 e
Sobre
na região
© o máximo de é menor que 4.
© o máximo de
()A sequência
é de Cauchy.
Mostre que o subconjunto
é aberto em
. Dica:
é aberto em
.