Encontre o máximo e o mínido de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os pontos de máximo e mínimo da função dentro de um triângulo formado pelos vértices , e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização em regiões fechadas. Para resolver, vamos precisar achar os pontos críticos da função dentro da região e também verificar os valores nos limites do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2), temos . Substituindo na equação (1):
Então, . O ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos avaliar se esse ponto está dentro da região delimitada pelo triângulo , , . Claramente, está no vértice do triângulo, então está incluso na região.

Passo 6

Em seguida, precisamos verificar os valores da função nos limites do triângulo. O triângulo tem três arestas:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos parametrizar cada uma dessas arestas e encontrar os extremos em cada segmento.

Passo 7

Primeira aresta: de a
Aqui, e varia de 0 a 1.
A função fica:
Para encontrar extremos, derivamos em relação a :
Igualando a zero:
Então, temos o ponto . Já avaliamos esse ponto anteriormente.

Passo 8

Segunda aresta: de a
Aqui, e varia de 0 a 1.
A função fica:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Então, temos o ponto .

Passo 9

Terceira aresta: de a
Aqui, a reta que liga a é . Então, e varia de 0 a 1.
A função fica:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Então, temos o ponto , que já avaliamos.

Passo 10

Agora, vamos resumir os pontos que encontramos:
  • : já está dentro do triângulo.
  • : está na segunda aresta do triângulo.
Vamos calcular o valor da função em cada ponto:

Resposta

O máximo de na região é 2 no ponto e o mínimo é 1 no ponto .

Exercícios relacionados

O máximo e o mínimo de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e são respectivamente:
(a) 3 e
Sobre na região
© o máximo de é menor que 4.
()A sequência é de Cauchy.
Mostre que o subconjunto é aberto em . Dica: é aberto em .