sendo
um número inteiro fixado. Mostre que os
-ésimos coeficientes de Fourier
e
são dados pelas fórmulas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de Fourier definida por:
Aqui,
é um número inteiro fixo maior ou igual a 1. A tarefa é mostrar que os coeficientes
e
dessa série são dados pelas integrais:
Vamos usar os conceitos de séries de Fourier e propriedades de ortogonalidade das funções seno e cosseno para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier representa uma função periódica como uma soma de funções seno e cosseno. Os coeficientes
e
determinam a contribuição de cada cosseno e seno na soma.
Para encontrar esses coeficientes, usamos a propriedade de ortogonalidade das funções seno e cosseno. Isso significa que, quando integramos o produto de senos ou cossenos de diferentes frequências sobre um período completo, o resultado é zero. Isso ajuda a “isolar” cada coeficiente.
Passo 3
Vamos começar encontrando o coeficiente
. Multiplicamos ambos os lados da equação da série de Fourier por
e integramos de
a
:
Passo 4
Agora, distribuímos a integral:
Passo 5
Vamos analisar cada uma dessas integrais:
-
Primeira integral:
. Para , isso é zero devido à simetria da função cosseno. -
Segunda integral:
. Pela ortogonalidade, essa integral é zero quando e igual a quando . -
Terceira integral:
. Funções seno e cosseno são ortogonais, então essa integral é sempre zero para quaisquer e .
Passo 6
Com base nisso, a equação simplifica para:
Isolando
:
Passo 7
Agora, vamos repetir o mesmo processo para encontrar
. Multiplicamos a série de Fourier por
e integramos de
a
:
Passo 8
Distribuindo a integral novamente:
Passo 9
Analisando cada integral:
-
Primeira integral:
devido à simetria ímpar da função seno. -
Segunda integral:
porque seno e cosseno são ortogonais. -
Terceira integral:
. Pela ortogonalidade, isso é zero quando e igual a quando .
Passo 10
Assim, a equação simplifica para:
Isolando
:
Resposta
Portanto, mostramos que os coeficientes
e
na série de Fourier são dados por: