f(x)=a02+sumn=1^Nan cos (n x)+bn sen(n x) -pi <= x <= pi
sendo N >= 1 um número inteiro fixado. Mostre que os k-ésimos coeficientes de Fourier ak e bk são dados pelas fórmulas
ak=1pi integral-pi^pi f(x) cos (k x) d x e bk=1pi integral-pi^pi f(x) sen(k x) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de Fourier definida por:
f(x)=a02+sumn=1^Nan cos (n x)+bn sen(n x) -pi <= x <= pi
Aqui, ak=1pi integral-pi^pi f(x) cos (k x) d x e bk=1pi integral-pi^pi f(x) sen(k x) d x é um número inteiro fixo maior ou igual a 1. A tarefa é mostrar que os coeficientes e dessa série são dados pelas integrais:
Vamos usar os conceitos de séries de Fourier e propriedades de ortogonalidade das funções seno e cosseno para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier representa uma função periódica como uma soma de funções seno e cosseno. Os coeficientes e determinam a contribuição de cada cosseno e seno na soma.
Para encontrar esses coeficientes, usamos a propriedade de ortogonalidade das funções seno e cosseno. Isso significa que, quando integramos o produto de senos ou cossenos de diferentes frequências sobre um período completo, o resultado é zero. Isso ajuda a “isolar” cada coeficiente.

Passo 3

Vamos começar encontrando o coeficiente integral-pi^pi f(x) cos(kx) dx = integral-pi^pi ( a02 + sumn=1^N an cos(nx) + bn sen(nx) ) cos(kx) dx . Multiplicamos ambos os lados da equação da série de Fourier por e integramos de a :

Passo 4

Agora, distribuímos a integral:
integral-pi^pi f(x) cos(kx) dx = a02 integral-pi^pi cos(kx) dx + sumn=1^N an integral-pi^pi cos(nx) cos(kx) dx + sumn=1^N bn integral-pi^pi sen(nx) cos(kx) dx

Passo 5

Vamos analisar cada uma dessas integrais:
  1. Primeira integral: . Para , isso é zero devido à simetria da função cosseno.
  2. Segunda integral: . Pela ortogonalidade, essa integral é zero quando e igual a quando .
  3. Terceira integral: . Funções seno e cosseno são ortogonais, então essa integral é sempre zero para quaisquer e .

Passo 6

Com base nisso, a equação simplifica para:
integral-pi^pi f(x) cos(kx) dx = ak pi
Isolando ak = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(kx) dx :

Passo 7

Agora, vamos repetir o mesmo processo para encontrar integral-pi^pi f(x) sen(kx) dx = integral-pi^pi ( a02 + sumn=1^N an cos(nx) + bn sen(nx) ) sen(kx) dx . Multiplicamos a série de Fourier por e integramos de a :

Passo 8

Distribuindo a integral novamente:
integral-pi^pi f(x) sen(kx) dx = a02 integral-pi^pi sen(kx) dx + sumn=1^N an integral-pi^pi cos(nx) sen(kx) dx + sumn=1^N bn integral-pi^pi sen(nx) sen(kx) dx

Passo 9

Analisando cada integral:
  1. Primeira integral: devido à simetria ímpar da função seno.
  2. Segunda integral: porque seno e cosseno são ortogonais.
  3. Terceira integral: . Pela ortogonalidade, isso é zero quando e igual a quando .

Passo 10

Assim, a equação simplifica para:
integral-pi^pi f(x) sen(kx) dx = bk pi
Isolando bk = 1pi integral-pi^pi f(x) sen(kx) dx :

Resposta

Portanto, mostramos que os coeficientes ak=1pi integral-pi^pi f(x) cos (k x) d x e bk=1pi integral-pi^pi f(x) sen(k x) d x e na série de Fourier são dados por:

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