sendo um número inteiro fixado. Mostre que os -ésimos coeficientes de Fourier e são dados pelas fórmulas

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de Fourier definida por:
Aqui, é um número inteiro fixo maior ou igual a 1. A tarefa é mostrar que os coeficientes e dessa série são dados pelas integrais:
Vamos usar os conceitos de séries de Fourier e propriedades de ortogonalidade das funções seno e cosseno para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier representa uma função periódica como uma soma de funções seno e cosseno. Os coeficientes e determinam a contribuição de cada cosseno e seno na soma.
Para encontrar esses coeficientes, usamos a propriedade de ortogonalidade das funções seno e cosseno. Isso significa que, quando integramos o produto de senos ou cossenos de diferentes frequências sobre um período completo, o resultado é zero. Isso ajuda a “isolar” cada coeficiente.

Passo 3

Vamos começar encontrando o coeficiente . Multiplicamos ambos os lados da equação da série de Fourier por e integramos de a :

Passo 4

Agora, distribuímos a integral:

Passo 5

Vamos analisar cada uma dessas integrais:
  1. Primeira integral: . Para , isso é zero devido à simetria da função cosseno.
  2. Segunda integral: . Pela ortogonalidade, essa integral é zero quando e igual a quando .
  3. Terceira integral: . Funções seno e cosseno são ortogonais, então essa integral é sempre zero para quaisquer e .

Passo 6

Com base nisso, a equação simplifica para:
Isolando :

Passo 7

Agora, vamos repetir o mesmo processo para encontrar . Multiplicamos a série de Fourier por e integramos de a :

Passo 8

Distribuindo a integral novamente:

Passo 9

Analisando cada integral:
  1. Primeira integral: devido à simetria ímpar da função seno.
  2. Segunda integral: porque seno e cosseno são ortogonais.
  3. Terceira integral: . Pela ortogonalidade, isso é zero quando e igual a quando .

Passo 10

Assim, a equação simplifica para:
Isolando :

Resposta

Portanto, mostramos que os coeficientes e na série de Fourier são dados por:

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Verifique se o sistema abaixo é determinado:
(Equipe 3) Encontre o polinômio linear de mínimos quadrados para os dados da tabela:
x y
0,3 1,8
2,75 1,9
4,5 3,1
5,95 3,9
7,8 3,3
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Resolva os sistemas: