sendo um número inteiro fixado. Mostre que os -ésimos coeficientes de Fourier e são dados pelas fórmulas
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série de Fourier definida por:
Aqui, é um número inteiro fixo maior ou igual a 1. A tarefa é mostrar que os coeficientes e dessa série são dados pelas integrais:
Vamos usar os conceitos de séries de Fourier e propriedades de ortogonalidade das funções seno e cosseno para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier representa uma função periódica como uma soma de funções seno e cosseno. Os coeficientes e determinam a contribuição de cada cosseno e seno na soma.
Para encontrar esses coeficientes, usamos a propriedade de ortogonalidade das funções seno e cosseno. Isso significa que, quando integramos o produto de senos ou cossenos de diferentes frequências sobre um período completo, o resultado é zero. Isso ajuda a “isolar” cada coeficiente.
Passo 3
Vamos começar encontrando o coeficiente . Multiplicamos ambos os lados da equação da série de Fourier por e integramos de a :
Passo 4
Agora, distribuímos a integral:
Passo 5
Vamos analisar cada uma dessas integrais:
Primeira integral: . Para , isso é zero devido à simetria da função cosseno.
Segunda integral: . Pela ortogonalidade, essa integral é zero quando e igual a quando .
Terceira integral: . Funções seno e cosseno são ortogonais, então essa integral é sempre zero para quaisquer e .
Passo 6
Com base nisso, a equação simplifica para:
Isolando :
Passo 7
Agora, vamos repetir o mesmo processo para encontrar . Multiplicamos a série de Fourier por e integramos de a :
Passo 8
Distribuindo a integral novamente:
Passo 9
Analisando cada integral:
Primeira integral: devido à simetria ímpar da função seno.
Segunda integral: porque seno e cosseno são ortogonais.
Terceira integral: . Pela ortogonalidade, isso é zero quando e igual a quando .
Passo 10
Assim, a equação simplifica para:
Isolando :
Resposta
Portanto, mostramos que os coeficientes e na série de Fourier são dados por: