Se
Encontre o valor de
.
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e)
.
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma expressão que envolve uma série de potências e precisa encontrar o coeficiente
na expansão de
para
. Para isso, vamos precisar entender como expandir funções em séries de potências e como multiplicar essas séries para encontrar o coeficiente desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a expansão da função exponencial
em série de potências. Sabemos que:
Aqui,
representa o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos expandir
em série de potências. Essa é uma série geométrica conhecida:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos multiplicar as duas séries que encontramos:
Queremos encontrar o coeficiente de
nessa multiplicação, que será
.
Passo 5
Vamos calcular
somando os produtos dos coeficientes que resultam em
:
Convertendo para fração, temos
.
Resposta
d)
.
Exercícios relacionados
Considere a série de Laurent de
no anel
:
Encontre o valor de
.
a) 0
b) 1
c)
d)
e) .
a) 0
b) 1
c)
d)
e)
Sejam
,
e .
Determine e
.
e
Determine
(1,5 ponto) Verifique que
Dica: Faça a mudança
e calcule uma integral de linha no círculo unitário.