Se
e^z / (1 - z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + ... para |z| < 1
Encontre o valor de a3.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 8 / 3
e) 65 / 24.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma expressão que envolve uma série de potências e precisa encontrar o coeficiente na expansão de para . Para isso, vamos precisar entender como expandir funções em séries de potências e como multiplicar essas séries para encontrar o coeficiente desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expansão da função exponencial em série de potências. Sabemos que:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Agora, vamos expandir em série de potências. Essa é uma série geométrica conhecida:

Passo 4

Para encontrar , precisamos multiplicar as duas séries que encontramos:
Queremos encontrar o coeficiente de nessa multiplicação, que será .

Passo 5

Vamos calcular somando os produtos dos coeficientes que resultam em :
Convertendo para fração, temos .

Resposta

d) .

Exercícios relacionados

Considere a série de Laurent de R(z)=z+2z^2-5 z+4 no anel 1<|z|<4 :
R(z)=sumn >= 0 an z^n+sumn >= 1 bn z^-n
Encontre o valor de a2 cdot b2.
a) 0
b) 1
c) 1 / 4
d) 1 / 16
e) 1 / 32.
Sejam z=x-y,
x(u, v)=5^4 u^3+2 v cdot arctg(u^3-v^5)
e y(u, v)=cos (uv) cdot ln (u cdot v+2 v).
Determine partial zpartial u e partial zpartial v.
1,5 ponto) Se f(z) = 1 / (z * (z^2 + 1) * (z - 2)^2), encontre Res(f ; 2)
(1,5 ponto) Verifique que
integral0^2 pi d thetaa+b cos theta=piraiza^2-b^2 , se a>b>0
Dica: Faça a mudança z=e^i theta e calcule uma integral de linha no círculo unitário.