(1,5 ponto) Verifique que
integral0^2 pi d thetaa+b cos theta=piraiza^2-b^2 , se a>b>0
Dica: Faça a mudança z=e^i theta e calcule uma integral de linha no círculo unitário.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral:
integral0^2 pi d thetaa + b cos theta
Aqui, e são constantes com . O conteúdo envolve cálculo de integrais usando técnicas de análise complexa. Para resolver isso, vamos usar a substituição , que nos ajuda a converter a integral em uma integral de linha no círculo unitário no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição cos theta = z + z^-12 . Isso significa que pode ser substituído por , já que . Além disso, pode ser escrito em termos de usando a identidade:

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
integral0^2 pi d thetaa + b cos theta = oint|z|=1 1a + b z + z^-12 cdot dzi z
Simplificando a expressão dentro da integral:
= oint|z|=1 22a + b(z + z^-1) cdot dzi z = oint|z|=1 2 dzi z (2a + b z + bz)
Multiplicando numerador e denominador por = oint|z|=1 2 dzi (2a z + b z^2 + b) para eliminar o termo :

Passo 4

Agora, a integral se reduz a uma integral de função racional no plano complexo:
= 2i oint|z|=1 dzb z^2 + 2a z + b
Vamos simplificar o denominador:
b z^2 + 2a z + b = b(z^2 + 2ab z + 1)

Passo 5

Para resolver essa integral, buscamos os polos da função dentro do círculo unitário. Os polos são as raízes da equação z = -2ab pm raiz(2ab)^2 - 42 = -2ab pm raiz4a^2b^2 - 42 = -a pm raiza^2 - b^2b . Usando a fórmula de Bhaskara:
Como , uma dessas raízes estará dentro do círculo unitário.

Passo 6

Aplicando o teorema dos resíduos, a integral será Res = 1ddz(b z^2 + 2a z + b) g|z = -a + raiza^2 - b^2b = 12b z + 2a g|z = -a + raiza^2 - b^2b vezes o resíduo da função no polo dentro do círculo. Calculando o resíduo:
= 12b (-a + raiza^2 - b^2b) + 2a = 1-2a + 2raiza^2 - b^2 + 2a = 12raiza^2 - b^2
Substituindo :

Passo 7

Voltando à integral original:
2i cdot 2pi i cdot 12raiza^2 - b^2 = 2 cdot 2pi ii cdot 2raiza^2 - b^2 = 2piraiza^2 - b^2

Resposta

Então, a solução da integral é:
piraiza^2 - b^2

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1,5 ponto) Se f(z) = 1 / (z * (z^2 + 1) * (z - 2)^2), encontre Res(f ; 2)
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