Dica: Faça a mudança e calcule uma integral de linha no círculo unitário.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral:
Aqui, e são constantes com . O conteúdo envolve cálculo de integrais usando técnicas de análise complexa. Para resolver isso, vamos usar a substituição , que nos ajuda a converter a integral em uma integral de linha no círculo unitário no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que pode ser substituído por , já que . Além disso, pode ser escrito em termos de usando a identidade:
Passo 3
Substituindo essas expressões na integral original, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Multiplicando numerador e denominador por para eliminar o termo :
Passo 4
Agora, a integral se reduz a uma integral de função racional no plano complexo:
Vamos simplificar o denominador:
Passo 5
Para resolver essa integral, buscamos os polos da função dentro do círculo unitário. Os polos são as raízes da equação . Usando a fórmula de Bhaskara:
Como , uma dessas raízes estará dentro do círculo unitário.
Passo 6
Aplicando o teorema dos resíduos, a integral será vezes o resíduo da função no polo dentro do círculo. Calculando o resíduo: