Sejam z=x-y,
x(u, v)=5^4 u^3+2 v cdot arctg(u^3-v^5)
e y(u, v)=cos (uv) cdot ln (u cdot v+2 v).
Determine partial zpartial u e partial zpartial v.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de derivadas parciais. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , onde . As funções e estão dadas, e vamos usar conceitos de derivadas parciais, regra do produto e regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar partial zpartial u = partial xpartial u - partial ypartial u e partial zpartial v = partial xpartial v - partial ypartial v , a gente precisa derivar em relação a e . Isso significa que:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.

Passo 3

Vamos começar calculando x(u, v) = 5^4 u^3 + 2 v cdot arctan(u^3 - v^5) . A função partial xpartial u = partialpartial u(5^4 u^3 + 2 v) cdot arctan(u^3 - v^5) + 5^4 u^3 + 2 v cdot partialpartial u(arctan(u^3 - v^5)) é dada por:
partialpartial u(5^4 u^3 + 2 v) = 5^4 u^3 + 2 v cdot ln(5) cdot partialpartial u(4 u^3 + 2 v) = 5^4 u^3 + 2 v cdot ln(5) cdot 12 u^2
Aqui, temos um produto de duas funções: partialpartial u(arctan(u^3 - v^5)) = 11 + (u^3 - v^5)^2 cdot partialpartial u(u^3 - v^5) = 11 + (u^3 - v^5)^2 cdot 3 u^2 e partial xpartial u = 5^4 u^3 + 2 v cdot ln(5) cdot 12 u^2 cdot arctan(u^3 - v^5) + 5^4 u^3 + 2 v cdot 3 u^21 + (u^3 - v^5)^2 . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto:
Agora, vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular y(u, v) = cos(uv) cdot ln(u cdot v + 2 v) . A função partial ypartial u = partialpartial u(cos(uv)) cdot ln(u cdot v + 2 v) + cos(uv) cdot partialpartial u(ln(u cdot v + 2 v)) é dada por:
partialpartial u(cos(uv)) = -sin(uv) cdot 1v
Novamente, temos um produto de duas funções: partialpartial u(ln(u cdot v + 2 v)) = 1u cdot v + 2 v cdot v = vv(u + 2) = 1u + 2 e partial ypartial u = -sin(uv) cdot 1v cdot ln(u cdot v + 2 v) + cos(uv) cdot 1u + 2 . Vamos usar a regra do produto para derivar isso em relação a :
Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora que temos partial zpartial u = partial xpartial u - partial ypartial u e partial zpartial u = [5^4 u^3 + 2 v cdot ln(5) cdot 12 u^2 cdot arctan(u^3 - v^5) + 5^4 u^3 + 2 v cdot 3 u^21 + (u^3 - v^5)^2] - [-sin(uv) cdot 1v cdot ln(u cdot v + 2 v) + cos(uv) cdot 1u + 2] , podemos encontrar :
Substituindo as expressões encontradas:

Passo 6

Vamos agora calcular x(u, v) = 5^4 u^3 + 2 v cdot arctan(u^3 - v^5) . Primeiro, precisamos encontrar partial xpartial v = partialpartial v(5^4 u^3 + 2 v) cdot arctan(u^3 - v^5) + 5^4 u^3 + 2 v cdot partialpartial v(arctan(u^3 - v^5)) e partialpartial v(5^4 u^3 + 2 v) = 5^4 u^3 + 2 v cdot ln(5) cdot 2 .
Começando com partialpartial v(arctan(u^3 - v^5)) = 11 + (u^3 - v^5)^2 cdot (-5 v^4) :
partial xpartial v = 5^4 u^3 + 2 v cdot ln(5) cdot 2 cdot arctan(u^3 - v^5) + 5^4 u^3 + 2 v cdot -5 v^41 + (u^3 - v^5)^2
Aplicando a regra do produto:
Derivando cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Então, juntando tudo:

Passo 7

Agora, vamos calcular y(u, v) = cos(uv) cdot ln(u cdot v + 2 v) :
partial ypartial v = partialpartial v(cos(uv)) cdot ln(u cdot v + 2 v) + cos(uv) cdot partialpartial v(ln(u cdot v + 2 v))
Aplicando a regra do produto:
partialpartial v(cos(uv)) = -sin(uv) cdot (-uv^2) = uv^2 cdot sin(uv)
Derivando cada parte:
  1. Derivada de partialpartial v(ln(u cdot v + 2 v)) = 1u cdot v + 2 v cdot (u + 2) = u + 2v(u + 2) = 1v em relação a partial ypartial v = uv^2 cdot sin(uv) cdot ln(u cdot v + 2 v) + cos(uv) cdot 1v :
  1. Derivada de em relação a :
Então, juntando tudo:

Passo 8

Finalmente, podemos encontrar partial zpartial v = partial xpartial v - partial ypartial v :
partial zpartial v = [5^4 u^3 + 2 v cdot ln(5) cdot 2 cdot arctan(u^3 - v^5) + 5^4 u^3 + 2 v cdot -5 v^41 + (u^3 - v^5)^2] - [uv^2 cdot sin(uv) cdot ln(u cdot v + 2 v) + cos(uv) cdot 1v]
Substituindo as expressões encontradas:

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial u = 5^4 u^3 + 2 v cdot ln(5) cdot 12 u^2 cdot arctan(u^3 - v^5) + 5^4 u^3 + 2 v cdot 3 u^21 + (u^3 - v^5)^2 + sin(uv) cdot 1v cdot ln(u cdot v + 2 v) - cos(uv) cdot 1u + 2 são:
partial zpartial v = 5^4 u^3 + 2 v cdot ln(5) cdot 2 cdot arctan(u^3 - v^5) - 5^4 u^3 + 2 v cdot 5 v^41 + (u^3 - v^5)^2 - uv^2 cdot sin(uv) cdot ln(u cdot v + 2 v) - cos(uv) cdot 1v

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