Sejam
,
e
.
Determine
e
.
e
Determine
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de derivadas parciais. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, onde
. As funções
e
estão dadas, e vamos usar conceitos de derivadas parciais, regra do produto e regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar
e
, a gente precisa derivar
em relação a
e
. Isso significa que:
Então, vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.
Passo 3
Vamos começar calculando
. A função
é dada por:
Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do produto:
Agora, vamos derivar cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. A função
é dada por:
Novamente, temos um produto de duas funções:
e
. Vamos usar a regra do produto para derivar isso em relação a
:
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos encontrar
:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 6
Vamos agora calcular
. Primeiro, precisamos encontrar
e
.
Começando com
:
Aplicando a regra do produto:
Derivando cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, juntando tudo:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Aplicando a regra do produto:
Derivando cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, juntando tudo:
Passo 8
Finalmente, podemos encontrar
:
Substituindo as expressões encontradas:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Determinar o plano tangente e a reta normal á superficie
em
Calcule as integrais iteradas.
Considere a série de Laurent de
no anel
:
Encontre o valor de
.
a) 0
b) 1
c)
d)
e) .
a) 0
b) 1
c)
d)
e)
Se
Encontre o valor de
.
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e) .
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e)