Considere a série de Laurent de
no anel
:
Encontre o valor de
.
a) 0
b) 1
c)
d)
e)
.
a) 0
b) 1
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com a função
e desenvolver a série de Laurent dela no anel onde
. Nosso objetivo é encontrar o produto dos coeficientes
e
nessa série. Para isso, vamos precisar fazer uma fração parcial e depois expandir cada parte da função em série adequada para o anel dado.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função
. A expressão
pode ser fatorada assim:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa função em frações parciais. Queremos escrever
como:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Vamos resolver para
e
.
Passo 4
Para encontrar
e
, podemos escolher valores de
que simplificam a equação.
Primeiro, se
:
Segundo, se
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos expandir cada termo em uma série de Laurent válida para
.
Primeiro, para
:
Essa é uma série de potências negativas, adequada para
.
Segundo, para
:
Essa é uma série de potências positivas, adequada para
.
Passo 6
Agora, substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Identificando os coeficientes
e
:
-
Os termos com potências positivas de
vêm da segunda parte: Então,, , , etc. -
Os termos com potências negativas de
vêm da primeira parte: Então,, , , etc.
Passo 8
Agora, queremos o produto
:
Então:
Resposta
A resposta correta é a letra e)
.
Exercícios relacionados
Sejam
,
e .
Determine e
.
e
Determine
Determinar o plano tangente e a reta normal á superficie
em
Se
Encontre o valor de
.
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e) .
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e)