1,5 ponto) Se f(z) = 1 / (z * (z^2 + 1) * (z - 2)^2), encontre Res(f ; 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o resíduo da função no ponto . Isso está dentro do conteúdo de Análise Complexa, especificamente sobre resíduos de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um resíduo e como calculá-lo em casos de polos de ordem maior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um resíduo. O resíduo de uma função em um ponto específico é o coeficiente de no desenvolvimento em série de Laurent da função ao redor desse ponto . É uma ferramenta super útil para avaliar integrais complexas.

Passo 3

No nosso caso, é um polo de ordem 2 (ou seja, um polo duplo) da função . Para encontrar o resíduo em um polo de ordem , usamos a fórmula:
Como aqui , a fórmula fica:

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a e depois avaliar o limite quando se aproxima de 2.

Passo 5

Derivando :
Usando a regra do quociente:
Agora, avaliamos o limite quando :

Resposta

O resíduo de no ponto é .

Exercícios relacionados

Se
e^z / (1 - z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + ... para |z| < 1
Encontre o valor de a3.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 8 / 3
e) 65 / 24.
Considere a série de Laurent de R(z)=z+2z^2-5 z+4 no anel 1<|z|<4 :
R(z)=sumn >= 0 an z^n+sumn >= 1 bn z^-n
Encontre o valor de a2 cdot b2.
a) 0
b) 1
c) 1 / 4
d) 1 / 16
e) 1 / 32.
(1,5 ponto) Verifique que
integral0^2 pi d thetaa+b cos theta=piraiza^2-b^2 , se a>b>0
Dica: Faça a mudança z=e^i theta e calcule uma integral de linha no círculo unitário.
(2,5 pontos) Verifique que
integral0^infty 1(x^2+a^2)^2 d x=pi4 a^3, se a>0