ponto) Se
, encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o resíduo da função
no ponto
. Isso está dentro do conteúdo de Análise Complexa, especificamente sobre resíduos de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender o que é um resíduo e como calculá-lo em casos de polos de ordem maior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um resíduo. O resíduo de uma função em um ponto específico é o coeficiente de
no desenvolvimento em série de Laurent da função ao redor desse ponto
. É uma ferramenta super útil para avaliar integrais complexas.
Passo 3
No nosso caso,
é um polo de ordem 2 (ou seja, um polo duplo) da função
. Para encontrar o resíduo em um polo de ordem
, usamos a fórmula:
Como aqui
, a fórmula fica:
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a
e depois avaliar o limite quando
se aproxima de 2.
Passo 5
Derivando
:
Usando a regra do quociente:
Agora, avaliamos o limite quando
:
Resposta
O resíduo de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Se
Encontre o valor de
.
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e) .
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e)
Considere a série de Laurent de
no anel
:
Encontre o valor de
.
a) 0
b) 1
c)
d)
e) .
a) 0
b) 1
c)
d)
e)
(1,5 ponto) Verifique que
Dica: Faça a mudança
e calcule uma integral de linha no círculo unitário.
(2,5 pontos) Verifique que