Se A1, A2, A3, ..., An são conjuntos abertos de R^n, verifique que
A1 U A2 U A3 U ... U An
é aberto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem vários conjuntos abertos no espaço e precisamos provar que a união desses conjuntos também é aberto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conjunto aberto e entender como a união de conjuntos abertos se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em , um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, a gente consegue encontrar uma bolinha (ou esfera) ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto. Isso significa que não tem “bordas” fechando o conjunto.

Passo 3

Agora, queremos ver a união de vários conjuntos abertos. A união contém todos os pontos que estão em pelo menos um dos conjuntos . Nossa meta é mostrar que esse conjunto resultante também é aberto.

Passo 4

Vamos pegar qualquer ponto que está na união . Isso quer dizer que está em pelo menos um dos conjuntos . Como cada é aberto, existe uma bolinha ao redor de que est�� totalmente dentro de .

Passo 5

Como existe essa bolinha ao redor de que está dentro de , e está dentro da união, essa bolinha também está dentro da união . Portanto, para qualquer ponto na união, temos uma bolinha ao redor que também está na união.

Passo 6

Isso satisfaz a definição de conjunto aberto, já que todo ponto tem uma vizinhança totalmente contida no conjunto. Assim, mostramos que a união dos conjuntos abertos é também um conjunto aberto.

Resposta

A união é um conjunto aberto em .

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