Se
são conjuntos abertos de
, verifique que
é aberto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem vários conjuntos abertos
no espaço
e precisamos provar que a união desses conjuntos também é aberto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conjunto aberto e entender como a união de conjuntos abertos se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em
, um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, a gente consegue encontrar uma bolinha (ou esfera) ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto. Isso significa que não tem “bordas” fechando o conjunto.
Passo 3
Agora, queremos ver a união de vários conjuntos abertos. A união
contém todos os pontos que estão em pelo menos um dos conjuntos
. Nossa meta é mostrar que esse conjunto resultante também é aberto.
Passo 4
Vamos pegar qualquer ponto
que está na união
. Isso quer dizer que
está em pelo menos um dos conjuntos
. Como cada
é aberto, existe uma bolinha ao redor de
que est�� totalmente dentro de
.
Passo 5
Como existe essa bolinha ao redor de
que está dentro de
, e
está dentro da união, essa bolinha também está dentro da união
. Portanto, para qualquer ponto
na união, temos uma bolinha ao redor que também está na união.
Passo 6
Isso satisfaz a definição de conjunto aberto, já que todo ponto tem uma vizinhança totalmente contida no conjunto. Assim, mostramos que a união dos conjuntos abertos
é também um conjunto aberto.
Resposta
A união
é um conjunto aberto em
.
Exercícios relacionados
Se
são conjuntos fechados de
, verifique que
é fechado.
Calcule
, onde
.
Explicitando as propriedades do limite de uma função, calcule os limites que seguem.
;
Seja
uma função contínua ao longo do intervalo
0 para todo
. Considere o conjunto
construa a noção de volume do sólido obtido por revolução do conjunto
em torno do eixo
.