Calcule , onde .

Passo 1

Vamos calcular a integral , onde . Esse problema envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais improprias envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de integrais de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função pode ser representada usando a função exponencial complexa:
Isso nos permite reescrever a integral usando números complexos, o que pode simplificar o cálculo.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
Aqui, estamos pegando a parte real da integral que agora envolve exponenciais complexos.

Passo 4

Podemos combinar os expoentes:
Agora, a integral é uma exponencial simples que podemos integrar diretamente.

Passo 5

A antiderivada de em relação a é . Avaliando de a :

Passo 6

Como , o termo tende a zero quando . Portanto, o limite é zero, e temos:

Passo 7

Voltando à parte real, temos:
Isso ocorre porque multiplicamos numerador e denominador por para racionalizar a expressão.

Resposta

Exercícios relacionados

Seja o espaço vetorial munido da métrica . Determine as bolas fechadas de , através desta métrica.
Calcule : ;
Se são conjuntos fechados de , verifique que
é fechado.
Se são conjuntos abertos de , verifique que
é aberto.