Calcule integral0^+infty e^-s t cos t d t, onde s>0.

Passo 1

Vamos calcular a integral , onde . Esse problema envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais improprias envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de integrais de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cos t = Re(e^i t) pode ser representada usando a função exponencial complexa:
Isso nos permite reescrever a integral usando números complexos, o que pode simplificar o cálculo.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral0^+infty e^-s t cos t , dt = Re ( integral0^+infty e^-s t e^i t , dt )
Aqui, estamos pegando a parte real da integral que agora envolve exponenciais complexos.

Passo 4

Podemos combinar os expoentes:
integral0^+infty e^(-s + i) t , dt
Agora, a integral é uma exponencial simples que podemos integrar diretamente.

Passo 5

A antiderivada de [ e^(-s + i) t-s + i ]0^+infty = limt to +infty e^(-s + i) t-s + i - 1-s + i em relação a é . Avaliando de a :

Passo 6

Como 0 - 1-s + i = 1s - i , o termo tende a zero quando . Portanto, o limite é zero, e temos:

Passo 7

Voltando à parte real, temos:
Re ( 1s - i ) = ss^2 + 1
Isso ocorre porque multiplicamos numerador e denominador por para racionalizar a expressão.

Resposta

integral0^+infty e^-s t cos t , dt = ss^2 + 1

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