Calcule
, onde
.
Passo 1
Vamos calcular a integral
, onde
. Esse problema envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais improprias envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de integrais de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser representada usando a função exponencial complexa:
Isso nos permite reescrever a integral usando números complexos, o que pode simplificar o cálculo.
Passo 3
Substituindo na integral, temos:
Aqui, estamos pegando a parte real da integral que agora envolve exponenciais complexos.
Passo 4
Podemos combinar os expoentes:
Agora, a integral é uma exponencial simples que podemos integrar diretamente.
Passo 5
A antiderivada de
em relação a
é
. Avaliando de
a
:
Passo 6
Como
, o termo
tende a zero quando
. Portanto, o limite é zero, e temos:
Passo 7
Voltando à parte real, temos:
Isso ocorre porque multiplicamos numerador e denominador por
para racionalizar a expressão.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja o espaço vetorial
munido da métrica
. Determine as bolas fechadas de
, através desta métrica.
Calcule :
;
Se
são conjuntos fechados de
, verifique que
é fechado.
Se
são conjuntos abertos de
, verifique que
é aberto.