Seja uma função contínua ao longo do intervalo 0 para todo . Considere o conjunto
construa a noção de volume do sólido obtido por revolução do conjunto em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir a noção de volume de um sólido que é formado ao girar um conjunto em torno do eixo . O conjunto é definido por todos os pontos onde é maior ou igual a e está entre 0 e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar o conjunto ao redor do eixo . Imagine que para cada valor de a partir de , temos uma função que nos dá a altura . Quando giramos esse segmento sobre o eixo , cada pequeno pedaço forma um disco circular.

Passo 3

O método dos discos nos diz que o volume de cada um desses discos infinitesimais pode ser calculado usando a área da base do disco multiplicada por uma pequena espessura . A área de um disco é dada por , onde é o raio do disco. No nosso caso, o raio é , então a área fica .

Passo 4

Para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar (integrar) todos esses volumes infinitesimais desde até o infinito. Portanto, a integral que representa o volume é:

Resposta

O volume do sólido obtido pela revolução do conjunto em torno do eixo é dado por:

Exercícios relacionados

Explicitando as propriedades do limite de uma função, calcule os limites que seguem. ;
Se são conjuntos abertos de , verifique que
é aberto.
Use a definição de limite para provar que: , onde ;
Esboce o gráfico da função , onde