Seja
uma função contínua ao longo do intervalo
0 para todo
. Considere o conjunto
construa a noção de volume do sólido obtido por revolução do conjunto
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir a noção de volume de um sólido que é formado ao girar um conjunto
em torno do eixo
. O conjunto
é definido por todos os pontos
onde
é maior ou igual a
e
está entre 0 e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar o conjunto
ao redor do eixo
. Imagine que para cada valor de
a partir de
, temos uma função
que nos dá a altura
. Quando giramos esse segmento sobre o eixo
, cada pequeno pedaço forma um disco circular.
Passo 3
O método dos discos nos diz que o volume de cada um desses discos infinitesimais pode ser calculado usando a área da base do disco multiplicada por uma pequena espessura
. A área de um disco é dada por
, onde
é o raio do disco. No nosso caso, o raio é
, então a área fica
.
Passo 4
Para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar (integrar) todos esses volumes infinitesimais desde
até o infinito. Portanto, a integral que representa o volume
é:
Resposta
O volume do sólido obtido pela revolução do conjunto
em torno do eixo
é dado por:
Exercícios relacionados
Explicitando as propriedades do limite de uma função, calcule os limites que seguem.
;
Se
são conjuntos abertos de
, verifique que
é aberto.
Use a definição de limite para provar que:
, onde
;
Esboce o gráfico da função
, onde