Se são conjuntos fechados de , verifique que
é fechado.

Passo 1

Beleza, então o que a questão está pedindo é para a gente mostrar que a interseção de vários conjuntos fechados em também é um conjunto fechado. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos fechados e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser fechado e como as interseções de tais conjuntos se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Em topologia, um conjunto em é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Isso significa que se você tiver uma sequência de pontos dentro de que converge para algum ponto , então também está em .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que a interseção de vários conjuntos fechados também é fechada. Vamos chamar essa interseção de :

Passo 4

Para provar que é fechado, vamos usar a definição de conjunto fechado. Precisamos mostrar que se temos uma sequência de pontos em que converge para algum ponto em , então também deve estar em .

Passo 5

Como cada está em , isso significa que está em cada um dos conjuntos . Como os são fechados, e a sequência converge para , então deve estar em cada .

Passo 6

Se está em cada , então está na interseção de todos eles, ou seja, . Portanto, toda sequência convergente em tem seu limite também em , o que satisfaz a definição de conjunto fechado.

Resposta

Assim, mostramos que a interseção é um conjunto fechado em .

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Calcule , onde .
Seja o espaço vetorial munido da métrica . Determine as bolas fechadas de , através desta métrica.
Se são conjuntos abertos de , verifique que
é aberto.
Explicitando as propriedades do limite de uma função, calcule os limites que seguem. ;