Se
são conjuntos fechados de
, verifique que
é fechado.
Passo 1
Beleza, então o que a questão está pedindo é para a gente mostrar que a interseção de vários conjuntos fechados em
também é um conjunto fechado. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos fechados e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser fechado e como as interseções de tais conjuntos se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Em topologia, um conjunto
em
é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Isso significa que se você tiver uma sequência de pontos dentro de
que converge para algum ponto
, então
também está em
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que a interseção de vários conjuntos fechados
também é fechada. Vamos chamar essa interseção de
:
Passo 4
Para provar que
é fechado, vamos usar a definição de conjunto fechado. Precisamos mostrar que se temos uma sequência de pontos
em
que converge para algum ponto
em
, então
também deve estar em
.
Passo 5
Como cada
está em
, isso significa que
está em cada um dos conjuntos
. Como os
são fechados, e a sequência
converge para
, então
deve estar em cada
.
Passo 6
Se
está em cada
, então
está na interseção de todos eles, ou seja,
. Portanto, toda sequência convergente em
tem seu limite também em
, o que satisfaz a definição de conjunto fechado.
Resposta
Assim, mostramos que a interseção
é um conjunto fechado em
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
.
Seja o espaço vetorial
munido da métrica
. Determine as bolas fechadas de
, através desta métrica.
Se
são conjuntos abertos de
, verifique que
é aberto.
Explicitando as propriedades do limite de uma função, calcule os limites que seguem.
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