Se A1, A2, ldots, An, são pontos quaisquer do plano, verifique que
A1 A2+A2 A3+ldots+An-1 An+An A1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um monte de pontos no plano, chamados . A pergunta é mostrar que, se você somar todos os vetores que vão de um ponto ao próximo e fechar o ciclo voltando para o começo, essa soma vai dar o vetor zero. Isso está dentro do conteúdo de vetores e adição vetorial. Para resolver, a gente vai precisar entender como somar vetores e o que significa essa soma resultar em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor representa uma direção e um sentido no espaço. Quando a gente soma vetores, basicamente está “juntando” essas direções e sentidos.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a soma dos vetores dados:
A1 A2 + A2 A3 + ldots + An-1 An + An A1
Cada termo representa o vetor que vai do ponto para o ponto .

Passo 4

Quando somamos esses vetores em sequência, o ponto final de um vetor é o ponto inicial do próximo. Por exemplo, o fim de é , que é o começo de , e assim por diante.

Passo 5

Essa sequência de somas faz com que todos os vetores “se anulem” intermediariamente. O que sobra é o início do primeiro vetor, , e o fim do último vetor, que também é , formando um ciclo fechado.

Passo 6

Matematicamente, isso significa que a soma total dos vetores resulta em:
0
Pois não há deslocamento líquido após completar o ciclo.

Resposta

Assim, verificamos que:
A1 A2 + A2 A3 + ldots + An-1 An + An A1 = 0

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Se u=(3,4,1), v=(2,3,2) e w= (4,2,3) encontre
u cdot v
Sejam A1, A2, ldots, An vértices de um polígono regular de n lados no plano centrado no ponto P. Mostre que
P A1+P A2+ldots+P An-1+P An=0
(a) (1,0 ponto) Determine u+v.