Considere A=(-1,1,2), B= (0,1,3) e C=(-1,2,8). Encontre a área do paralelogramo de lados A B e A C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . A pergunta é: qual é a área do paralelogramo formado pelos lados e ? Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial. Precisaremos encontrar os vetores e , calcular o produto vetorial deles e, por fim, encontrar a magnitude desse produto para determinar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (0 - (-1), 1 - 1, 3 - 2) = (1, 0, 1) e AC = C - A = (-1 - (-1), 2 - 1, 8 - 2) = (0, 1, 6) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 3

Agora que temos os vetores AB times AC = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 ) e AB times AC = ( 0 cdot 6 - 1 cdot 1, 1 cdot 0 - 1 cdot 6, 1 cdot 1 - 0 cdot 0 ) = ( -1, -6, 1 ) , vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

Com o produto vetorial calculado, agora vamos encontrar a magnitude desse vetor, que representa a área do paralelogramo. A magnitude de um vetor | AB times AC | = raizx^2 + y^2 + z^2 é dada por:
| (-1, -6, 1) | = raiz(-1)^2 + (-6)^2 + 1^2 = raiz1 + 36 + 1 = raiz38
Aplicando aos nossos valores:

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área.

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