Sejam A1, A2, ldots, An vértices de um polígono regular de n lados no plano centrado no ponto P. Mostre que
P A1+P A2+ldots+P An-1+P An=0

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre polígonos regulares! Temos um polígono de lados, todos os lados e ângulos iguais, e seu centro é o ponto . Queremos provar que a soma das setas (ou vetores) que vão de para cada vértice resulta no vetor nulo, que é representado por . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e simetria de polígonos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os vetores estão distribuídos. Em um polígono regular, os vértices estão igualmente espaçados ao redor do centro . Isso significa que para cada vetor , há outro vetor que aponta exatamente na direção oposta.

Passo 3

Imagine dividir o polígono em pares de vértices opostos. Cada par de vetores PAi + PAj = 0 e são iguais em magnitude mas opostos em direção. Quando somamos dois vetores opostos, eles se cancelam:

Passo 4

Como o polígono tem lados, e cada vetor tem seu par oposto, todas as somas de pares de vetores vão resultar em zero. Portanto, somando todos os vetores , cada par cancela e a soma total é o vetor nulo.

Resposta

PA1 + PA2 + ldots + PAn = 0

Exercícios relacionados

Se A1, A2, ldots, An, são pontos quaisquer do plano, verifique que
A1 A2+A2 A3+ldots+An-1 An+An A1=0
Considere A=(-1,1,2), B= (0,1,3) e C=(-1,2,8). Encontre a área do paralelogramo de lados A B e A C.
(a) (1,0 ponto) Determine u+v.
Considere A B=(1,0,1), A C= (1,2,3) e A D=(0,1,5).
Calcule a distância do ponto D ao plano que contém os pontos A, B e C .