Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
43.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções compostas e funções inversas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função tangente hiperbólica inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função inversa da tangente hiperbólica. A derivada dessa função em relação a é:

Passo 3

Agora, observe que temos uma função composta: . Aqui, . Segundo a regra da cadeia, a derivada de em relação a é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Já sabemos que:
Agora, vamos calcular . Como , a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, substituímos e na regra da cadeia:

Resposta

A derivada de é:

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(b) ;