Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
43.
43.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções compostas e funções inversas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer a derivada da função tangente hiperbólica inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função inversa da tangente hiperbólica. A derivada dessa função em relação a
é:
Passo 3
Agora, observe que temos uma função composta:
. Aqui,
. Segundo a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é a derivada de
em relação a
multiplicada pela derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Já sabemos que:
Agora, vamos calcular
. Como
, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na regra da cadeia:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
30.
30.
Determine se
converge ou diverge.
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
46.
46.
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b) ;
(b)