Determine se
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é dado por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se a soma de todos esses termos, ou seja,
, converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e séries, além de alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como a sequência
se comporta. Temos que cada termo depende do anterior multiplicado pela fração
. Isso significa que, para cada aumento de
, essa fração nos diz como o próximo termo se relaciona com o atual.
Passo 3
Vamos tentar encontrar uma expressão geral para
. Sabemos que:
Isso quer dizer que:
Ou seja, cada termo é o produto do termo inicial
pela multiplicação dessas frações até o termo
.
Passo 4
Para simplificar, vamos analisar o comportamento dessa fração
quando
fica grande. Dividindo numerador e denominador por
, temos:
Isso indica que, para
grande, cada fração é aproximadamente
. Então, o produto das frações para grandes
se comporta como
.
Passo 5
Sabemos que a série geométrica
diverge, pois a razão
. Como nossa sequência
cresce de forma semelhante a essa série geométrica, podemos concluir que nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
36.
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Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b) ;
(b)
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© ;
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