a1=2 e an+1=5 n+14 n+3 an
Determine se sumn=1^infty an converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência onde o primeiro termo é a1=2 e cada termo seguinte é dado por an+1=5n+14n+3 an. Nosso objetivo aqui é descobrir se a soma de todos esses termos, ou seja, sumn=1^infty an, converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e séries, além de alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como a sequência an se comporta. Temos que cada termo depende do anterior multiplicado pela fração 5n+14n+3. Isso significa que, para cada aumento de n, essa fração nos diz como o próximo termo se relaciona com o atual.

Passo 3

Vamos tentar encontrar uma expressão geral para an. Sabemos que:
an+1 = 5n+14n+3 cdot an
Isso quer dizer que:
an = a1 cdot prodk=1^n-1 5k+14k+3
Ou seja, cada termo é o produto do termo inicial a1 pela multiplicação dessas frações até o termo n-1.

Passo 4

Para simplificar, vamos analisar o comportamento dessa fração 5k+14k+3 quando k fica grande. Dividindo numerador e denominador por k, temos:
5 + 1k4 + 3k approx 54 quando k to infty
Isso indica que, para k grande, cada fração é aproximadamente 54. Então, o produto das frações para grandes n se comporta como (54)^n.

Passo 5

Sabemos que a série geométrica sumn=1^infty (54)^n diverge, pois a razão 54 > 1. Como nossa sequência an cresce de forma semelhante a essa série geométrica, podemos concluir que nossa série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty an diverge.

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