Determine se converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é dado por . Nosso objetivo aqui é descobrir se a soma de todos esses termos, ou seja, , converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e séries, além de alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como a sequência se comporta. Temos que cada termo depende do anterior multiplicado pela fração . Isso significa que, para cada aumento de , essa fração nos diz como o próximo termo se relaciona com o atual.

Passo 3

Vamos tentar encontrar uma expressão geral para . Sabemos que:
Isso quer dizer que:
Ou seja, cada termo é o produto do termo inicial pela multiplicação dessas frações até o termo .

Passo 4

Para simplificar, vamos analisar o comportamento dessa fração quando fica grande. Dividindo numerador e denominador por , temos:
Isso indica que, para grande, cada fração é aproximadamente . Então, o produto das frações para grandes se comporta como .

Passo 5

Sabemos que a série geométrica diverge, pois a razão . Como nossa sequência cresce de forma semelhante a essa série geométrica, podemos concluir que nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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(b) ;
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