Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo de Séries Alternadas e Testes de Convergência que aprendemos. Precisamos verificar se a série satisfaz os critérios para convergir, e para isso, vamos analisar o comportamento dos termos e aplicar os testes apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada por causa do termo
. Séries alternadas têm sinais que mudam de positivo para negativo conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são decrescentes. -
.
No nosso caso,
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, a segunda condição do teste está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar se os termos
são decrescentes. Observando a função
, vemos que, conforme
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que
diminua. Portanto, os termos são decrescentes.
Passo 6
Com as duas condições atendidas, concluímos pelo Teste da Série Alternada que a série
converge.
Passo 7
Mas vamos além! Para verificar se a série converge absolutamente ou apenas condicionalmente, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa série se parece com a série harmônica
, que sabemos que diverge. Aplicando o Teste de Comparação Limitada, percebemos que ambas as séries têm comportamento similar no infinito. Portanto, a série dos valores absolutos diverge.
Resposta
A série
converge condicionalmente.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
46.
46.
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
43.
43.
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
36.
36.
Determine se
converge ou diverge.