Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo de Séries Alternadas e Testes de Convergência que aprendemos. Precisamos verificar se a série satisfaz os critérios para convergir, e para isso, vamos analisar o comportamento dos termos e aplicar os testes apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada por causa do termo . Séries alternadas têm sinais que mudam de positivo para negativo conforme aumenta.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são decrescentes.
  2. .
No nosso caso, .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Então, a segunda condição do teste está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os termos são decrescentes. Observando a função , vemos que, conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que diminua. Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 6

Com as duas condições atendidas, concluímos pelo Teste da Série Alternada que a série converge.

Passo 7

Mas vamos além! Para verificar se a série converge absolutamente ou apenas condicionalmente, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa série se parece com a série harmônica , que sabemos que diverge. Aplicando o Teste de Comparação Limitada, percebemos que ambas as séries têm comportamento similar no infinito. Portanto, a série dos valores absolutos diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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