é base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta quatro matrizes e , que são matrizes com entradas específicas. A questão afirma que essas matrizes formam uma base para o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com números reais. Nosso objetivo é entender o que significa essas matrizes serem uma base e verificar por que isso é verdade. Para isso, vamos precisar entender conceitos de base, independência linear e geração de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, os “vetores” são matrizes . Então, para mostrar que e formam uma base, precisamos verificar duas coisas:
  1. Independência Linear: Nenhuma dessas matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras.
  2. Geração do Espaço: Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes.

Passo 3

Vamos começar verificando a independência linear. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear dessas matrizes que resulta na matriz nula:
Onde e são escalares. Precisamos mostrar que a única solução para essa equação é .

Passo 4

Vamos escrever a combinação linear explicitamente:
Ao somar essas matrizes, obtemos:
Isso nos leva ao sistema de equações:

Passo 5

Como a única solução para esse sistema é , concluímos que as matrizes e são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, vamos verificar se essas matrizes geram todo o espaço . Isso significa que qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes.
Considere uma matriz geral . Queremos encontrar escalares tais que:

Passo 7

Substituindo as matrizes, temos:
Isso implica que:

Passo 8

Assim, para qualquer matriz , podemos escolher , , e para expressá-la como uma combinação linear de e . Portanto, essas matrizes geram todo o espaço .

Resposta

Concluímos que as matrizes e são linearmente independentes e geram todo o espaço . Portanto, elas formam uma base para .

Exercícios relacionados

Considere a matriz descrita por
Mostre que os autovalores de são e .
Sejam
(b)
Encontre uma transformação linear tal que o vetor pertence ao núcleo de e vetor pertença a imagem de .