Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta quatro matrizes e , que são matrizes com entradas específicas. A questão afirma que essas matrizes formam uma base para o espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com números reais. Nosso objetivo é entender o que significa essas matrizes serem uma base e verificar por que isso é verdade. Para isso, vamos precisar entender conceitos de base, independência linear e geração de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, os “vetores” são matrizes . Então, para mostrar que e formam uma base, precisamos verificar duas coisas:
Independência Linear: Nenhuma dessas matrizes pode ser escrita como uma combinação linear das outras.
Geração do Espaço: Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes.
Passo 3
Vamos começar verificando a independência linear. Para isso, assumimos que existe uma combinação linear dessas matrizes que resulta na matriz nula:
Onde e são escalares. Precisamos mostrar que a única solução para essa equação é .
Passo 4
Vamos escrever a combinação linear explicitamente:
Ao somar essas matrizes, obtemos:
Isso nos leva ao sistema de equações:
Passo 5
Como a única solução para esse sistema é , concluímos que as matrizes e são linearmente independentes.
Passo 6
Agora, vamos verificar se essas matrizes geram todo o espaço a & b c & d. Isso significa que qualquer matriz xA11 + yA12 + zA21 + wA22 = a & b c & d pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes.
Considere uma matriz geral . Queremos encontrar escalares tais que:
Passo 7
Substituindo as matrizes, temos:
x1 & 0 0 & 0 + y0 & 1 0 & 0 + z0 & 0 1 & 0 + w0 & 0 0 & 1 = x & y z & w = a & b c & d
Isso implica que:
x = a, y = b, z = c, w = d
Passo 8
Assim, para qualquer matriz a & b c & d, podemos escolher , , e para expressá-la como uma combinação linear de e . Portanto, essas matrizes geram todo o espaço .
Resposta
Concluímos que as matrizes e são linearmente independentes e geram todo o espaço . Portanto, elas formam uma base para .