Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz A = a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b dada por:
O enunciado pede para encontrar uma base ortonormal de autovetores de . Isso significa que queremos encontrar vetores que sejam autovetores de e que sejam perpendiculares entre si e com comprimento 1.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores, além de ortonormalização. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de Av = lambda v . Lembra que um autovalor det a - lambda & 0 & 0 0 & b - lambda & c 0 & c & b - lambda = (a - lambda) cdot det b - lambda & c c & b - lambda e seu autovetor (b - lambda)^2 - c^2 satisfazem a equação:
(a - lambda)[(b - lambda)^2 - c^2] = 0
Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante (a - lambda) = 0 ou (b - lambda)^2 - c^2 = 0 , onde lambda1 = a é a matriz identidade.
Calculando isso para a nossa matriz (b - lambda)^2 - c^2 = 0 Rightarrow lambda2 = b + c e lambda3 = b - c :
Calculando o determinante da submatriz:
Então, a equação característica fica:
Igualando a zero, temos:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores 0 & 0 & 0 0 & b - a & c 0 & c & b - a v1 v2 v3 = 0 0 0 , 0 = 0 e (b - a)v2 + c v3 = 0 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para c v2 + (b - a)v3 = 0 :
Resolvemos v1 = 1 0 0 :
[ a - b - c & 0 & 0 0 & -c & c 0 & c & -c v1 v2 v3 = 0 0 0 (a - b - c)v1 = 0
-c v2 + c v3 = 0
]
Isso nos dá as equações:
c v2 - c v3 = 0
v2 = 0 1 1
a - b + c & 0 & 0 0 & c & c 0 & c & c v1 v2 v3 = 0 0 0
A solução geral é (a - b + c)v1 = 0 livre e c v2 + c v3 = 0 . Podemos escolher c v2 + c v3 = 0 , então um autovetor é:
v3 = 0 1 -1
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Assumindo que , temos . Da segunda equação, . Podemos escolher , então um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Assumindo que , temos . Da segunda equação, . Podemos escolher e , então um autovetor é:
Passo 4
Agora temos os autovetores:
v1 = 1 0 0 , v2 = 0 1 1 , v3 = 0 1 -1
Para formar uma base ortonormal, precisamos que esses vetores sejam perpendiculares entre si e que cada um tenha norma 1.