Considere a matriz A descrita por
A=(lll a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b )
Mostre que os autovalores de A são a, b+c e b-c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma matriz quadrada e pede para a gente encontrar os autovalores dela. Autovalores são valores que, quando a matriz age sobre certos vetores (chamados de autovetores), o resultado é apenas uma multiplicação desse vetor pelo autovalor. Para resolver isso, vamos precisar usar o polinômio característico da matriz e encontrar suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz A = a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b é dado por A - lambda I = a - lambda & 0 & 0 0 & b - lambda & c 0 & c & b - lambda , onde é o autovalor e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Nossa matriz é:
Então, fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (a - lambda) cdot det b - lambda & c c & b - lambda :
det b - lambda & c c & b - lambda = (b - lambda)(b - lambda) - c cdot c = (b - lambda)^2 - c^2
Calculando o determinante da matriz det(A - lambda I) = (a - lambda) [ (b - lambda)^2 - c^2 ] :
Então, o polinômio característico fica:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver (a - lambda) [ (b - lambda)^2 - c^2 ] = 0 :
(b - lambda)^2 = c^2 b - lambda = pm c lambda = b pm c
Isso nos dá duas equações:
Resolvendo a segunda equação:

Resposta

Os autovalores de são , e .

Exercícios relacionados