Considere a matriz descrita por
Mostre que os autovalores de são e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma matriz quadrada e pede para a gente encontrar os autovalores dela. Autovalores são valores que, quando a matriz age sobre certos vetores (chamados de autovetores), o resultado é apenas uma multiplicação desse vetor pelo autovalor. Para resolver isso, vamos precisar usar o polinômio característico da matriz e encontrar suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é o autovalor e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Nossa matriz é:
Então, fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de :
Calculando o determinante da matriz :
Então, o polinômio característico fica:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver :
Isso nos dá duas equações:
Resolvendo a segunda equação:

Resposta

Os autovalores de são , e .

Exercícios relacionados

Para cada uma das quádricas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida
Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.
é base de .