Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma matriz quadrada e pede para a gente encontrar os autovalores dela. Autovalores são valores que, quando a matriz age sobre certos vetores (chamados de autovetores), o resultado é apenas uma multiplicação desse vetor pelo autovalor. Para resolver isso, vamos precisar usar o polinômio característico da matriz e encontrar suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz A = a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b é dado por A - lambda I = a - lambda & 0 & 0 0 & b - lambda & c 0 & c & b - lambda , onde é o autovalor e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Nossa matriz é:
Então, fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (a - lambda) cdot det b - lambda & c c & b - lambda :
det b - lambda & c c & b - lambda = (b - lambda)(b - lambda) - c cdot c = (b - lambda)^2 - c^2
Calculando o determinante da matriz det(A - lambda I) = (a - lambda) [ (b - lambda)^2 - c^2 ] :
Então, o polinômio característico fica:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver (a - lambda) [ (b - lambda)^2 - c^2 ] = 0 :
(b - lambda)^2 = c^2 b - lambda = pm c lambda = b pm c