Encontre uma transformação linear tal que o vetor pertence ao núcleo de e vetor pertença a imagem de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma transformação linear que satisfaça duas condições:
O vetor está no núcleo de .
O vetor está na imagem de .
Vamos trabalhar com álgebra linear e usar conceitos como núcleo, imagem e matrizes de transformações lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Sabemos que , então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como , a matriz de será uma matriz :
Aqui, são reais que precisamos determinar.
Passo 4
Usando a condição que , vamos multiplicar a matriz pelo vetor :
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos expressar , e .
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda condição: o vetor está na imagem de . Isso significa que existe algum vetor tal que:
Isso nos dá:
Passo 6
Vamos escolher valores para simplificar. Por exemplo, podemos definir . Então, de , temos .
Agora, vamos resolver o sistema:
Simplificando a segunda equação:
Como , para que isso seja zero, deve ser zero.
Então, .
A terceira equação:
Como , temos , então .
Portanto, de , temos .
Passo 7
Agora, temos todos os valores:
Então, a matriz fica:
Resposta
A transformação linear desejada é dada pela matriz: