Encontre uma transformação linear T: R^2 R^3 tal que o vetor (1,2) pertence ao núcleo de T e vetor (1,0,1) pertença a imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma transformação linear que satisfaça duas condições:
  1. O vetor está no núcleo de .
  2. O vetor está na imagem de .
Vamos trabalhar com álgebra linear e usar conceitos como núcleo, imagem e matrizes de transformações lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = v in R^2 mid T(v) = 0 , denotado por T(1,2) = 0 , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como T = a & b c & d e & f , a matriz de será uma matriz :
Aqui, são reais que precisamos determinar.

Passo 4

Usando a condição que T(1,2) = a & b c & d e & f 1 2 = a + 2b c + 2d e + 2f = 0 0 0 , vamos multiplicar a matriz a + 2b = 0 c + 2d = 0 e + 2f = 0 pelo vetor :
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos expressar , e .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda condição: o vetor T(x,y) = a & b c & d e & f x y = 1 0 1 está na imagem de a x + b y = 1 c x + d y = 0 e x + f y = 1 . Isso significa que existe algum vetor tal que:
Isso nos dá:

Passo 6

Vamos escolher valores para simplificar. Por exemplo, podemos definir -2x + y = 1 -2d x + d y = 0 -2f x + f y = 1 . Então, de d(-2x + y) = 0 , temos -2f x + f y = 1 implies f(-2x + y) = 1 .
Agora, vamos resolver o sistema:
Simplificando a segunda equação:
Como , para que isso seja zero, deve ser zero.
Então, .
A terceira equação:
Como , temos , então .
Portanto, de , temos .

Passo 7

Agora, temos todos os valores:
Então, a matriz a = -2, b = 1, c = -2d = 0 (pois d=0), d = 0, e = -2, f = 1 fica:
T = -2 & 1 0 & 0 -2 & 1

Resposta

A transformação linear desejada é dada pela matriz:
T = -2 & 1 ,,0 & 0 -2 & 1

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