Encontre uma transformação linear tal que o vetor pertence ao núcleo de e vetor pertença a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma transformação linear que satisfaça duas condições:
  1. O vetor está no núcleo de .
  2. O vetor está na imagem de .
Vamos trabalhar com álgebra linear e usar conceitos como núcleo, imagem e matrizes de transformações lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Como , a matriz de será uma matriz :
Aqui, são reais que precisamos determinar.

Passo 4

Usando a condição que , vamos multiplicar a matriz pelo vetor :
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos expressar , e .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda condição: o vetor está na imagem de . Isso significa que existe algum vetor tal que:
Isso nos dá:

Passo 6

Vamos escolher valores para simplificar. Por exemplo, podemos definir . Então, de , temos .
Agora, vamos resolver o sistema:
Simplificando a segunda equação:
Como , para que isso seja zero, deve ser zero.
Então, .
A terceira equação:
Como , temos , então .
Portanto, de , temos .

Passo 7

Agora, temos todos os valores:
Então, a matriz fica:

Resposta

A transformação linear desejada é dada pela matriz:

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Sejam
(b)
é base de .
Para cada uma das quádricas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida
Considere a matriz descrita por
Identifique a quádrica descrita pela equação