Se
e
são positivos, prove que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos várias frações
que estão todas entre
e (ou seja,
para todo
). Além disso, sabemos que todos os denominadores
são positivos. A matéria que vamos usar aqui envolve desigualdades e médias ponderadas. Nosso objetivo é provar que a fração
também está entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
está entre
e
. Isso quer dizer que:
Como os
são positivos, podemos multiplicar todas as partes da desigualdade por
sem mudar a direção das desigualdades:
Passo 3
Agora, vamos somar todas essas desigualdades para
até
. Isso significa somar os lados esquerdo, central e direito separadamente:
Simplificando as somas:
Passo 4
Agora, para isolar a fração
, vamos dividir todos os lados da desigualdade pelo valor positivo
. Como estamos dividindo por um número positivo, a direção das desigualdades permanece a mesma:
Passo 5
Finalmente, reescrevemos a fração de forma mais concisa:
Resposta
Assim, provamos que:
Exercícios relacionados
d) Seja
. Prove que a função
definida por
um homomorfismo.
Encontre a derivada das funções:
Mostre que se
e
, então,
. (Dica:
.
Mostre que
, para todo
.