Se
e são positivos, prove que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos várias frações que estão todas entre e (ou seja, para todo ). Além disso, sabemos que todos os denominadores são positivos. A matéria que vamos usar aqui envolve desigualdades e médias ponderadas. Nosso objetivo é provar que a fração também está entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que está entre e . Isso quer dizer que:
Como os são positivos, podemos multiplicar todas as partes da desigualdade por sem mudar a direção das desigualdades:

Passo 3

Agora, vamos somar todas essas desigualdades para até . Isso significa somar os lados esquerdo, central e direito separadamente:
Simplificando as somas:

Passo 4

Agora, para isolar a fração , vamos dividir todos os lados da desigualdade pelo valor positivo . Como estamos dividindo por um número positivo, a direção das desigualdades permanece a mesma:

Passo 5

Finalmente, reescrevemos a fração de forma mais concisa:

Resposta

Assim, provamos que:

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d) Seja . Prove que a função definida por um homomorfismo.
Encontre a derivada das funções:
Mostre que se e , então, . (Dica: .
Mostre que , para todo .