Encontre a derivada das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a regra do produto e a derivada de funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar funções como e .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, temos:
Sabemos que .

Passo 3

Agora, precisamos derivar . A derivada de é:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte da função, que é . A derivada de é:
Então, a derivada de é:

Passo 5

Agora, juntamos tudo. A derivada de é a derivada da primeira parte menos a derivada da segunda parte:

Resposta

A derivada da função é .

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b) Descreva do item (a) como produto de polinômios irredutíveis sobre
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Se
e são positivos, prove que